Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation cartésienne de (E), l’affixe du point commun K.
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[ Baccalauréat C Algérie juin 1990 \

EXERCICE 1 3,5 POINTS

Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

; on choisit

1 cm pour unité. On considère le cercle (C1) de centre O et de rayon 8 et le cercle (C2) de centre O et de rayon 2. Ψ étant un nombre réel, on considère le point I de (C1) tel que :

(

−→ ı ,

−→ OI

)

=Ψmodulo2π

et le point J de (C2) tel que :

(

−→ ı ,

−→ OJ

)

=−Ψmodulo2π

On appelle M le milieu du segment [IJ].

1. Représenter les cercles (C1) et (C2) ; placer I, J et M en choisissantΨ= π

3 .

2. Dans cette questionΨ est un réel quelconque.

a. Calculer, en fonction deΨ, les coordonnées des points I, J et M.

b. Soit (E) l’ensemble des points M quand Ψ décrit R ; démontrer que la tangente en M à (E) est la médiatrice du segment [IJ].

c. Préciser la nature de (E) et écrire une équation cartésienne de (E).

d. Tracer (E) sur la figure de la 1re question.

EXERCICE 2 4,5 POINTS

Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Soit A le point d’affixe −2+3i et B le point d’affixe 1−3i. Soit M le point d’affixe z, z 6= −2+3i ; à z on associe le nombre complexe z ′ tel que :

z ′ = z−1+3i

z+2−3i .

1. a. Établir une relation entre un argument de z ′ et l’angle orienté (

−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

b. Déterminer et construire l’ensemble (E1) des points M du plan tels que

z ′ ait pour argument π

2 .

2. Déterminer et construire l’ensemble (E2) des points M du plan tels que ∣

z ′ ∣

∣= 2.

3. Déterminer l’affixe du point commun K à (E1) et (E2).

PROBLÈME 12 POINTS

Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même fi-

gure, dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 4 cm).

A. On considère la fonction numérique f définie sur [0 ; +∞[ par :

{

f (x) = x ln x+2

x si x appartient à ]0 ; +∞[

f (0) = 0.

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

1. a. Montrer que f a pour limite 0 en 0.

b. f est-elle dérivable en 0 ?

c. En posant

h = 2

x (x > 0),

trouver la limite de f (x) quand x tend vers +∞.

2. a. Pour x appartenant à ]0 ; +∞[, calculer f ′(x) et vérifier que

f ′′(x)=− 4

x(x+2)2 .

b. Étudier le sens de variation de f ′, et trouver la limite de f ′(x) quand x tend vers +∞. En déduire le signe de f ′.

c. Dresser le tableau des variations de f

3. On appelle (C ) la représentation graphique de f dans le plan (P) rapporté au

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Tracer (C ) en indiquant la tangente au point O et le point A

d’abscisse 2.

4. Soit u la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par

u(x)= 2x

x+2

et (H) sa représentation graphiquedans le plan (P) rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Dresser le tableau de variations de u.

b. Vérifier que pour x appartenant à ]0 ; +∞[ on a :

f (x)−u(x)= x f ′(x).

En déduire la position relative de (C ) et de (H). Tracer (H) en indiquant le point B d’abscisse 2.

c. λ étant un réel strictement positif,montrer que la tangente à (C ) au point d’abscisse λ. rencontre l’axe des ordonnées au point J d’ordonnée u(λ). En déduire à l’aide du tracé de (H) la détermination de la tangente à (C ) au point d’abscisse λ. Tracer de cette façon la tangente à (C ) en A.

B.Onsepropose dedéterminer l’ensemble (E) des fonctions g , définies et dérivables sur ]0 ; +∞[, et possédant la propriété P suivante : Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[,

g (x)− xg ′(x)= 2x

x+2

g étant une fonction définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, on pose, pour tout x apparte- nant à ]0 ; +∞[,

G(x)= g (x)

x

1. Montrer que g possède la propriété P si et seulement si : pour tout x apparte- nant à ]0 ; +∞[,

G ′(x)= 1

x+2 −

1

x .

2. En déduire l’ensemble (E).

Algérie 2 juin 1990

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

C. k étant un réel, on considère la fonction numérique fk définie sur [0 ; +∞[ par :

{

fk (x) = f (x)+kx si x appartient à ]0 ; +∞[ fk (0) = 0.

On appelle (Ck ) la représentation graphique de fk dans le plan (P) rapporté au re-

père (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. On suppose k strictement positif. Donner le tableau des variations de fk .

2. On suppose dans cette question que k est strictement négatif.

a. Enutilisant les variations de f ′ obtenues dansA. 2. b.,montrer que l’équa- tion f

k (x)= 0 admet dans ]0 ; +∞[ une solution unique notée vk .

b. Dresser le tableau de variations de fk .

c. On note Ik le point de (Ck ) d’abscisse vk . Montrer que Ik appartient à (H) (on pourra utiliser la propriété P t).

Algérie 3 juin 1990

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