Le nombre réel – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Le nombre réel – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le nombre réel – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans C l’équation, Déterminer lemodule
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[ Baccalauréat C Espagne juin 1990 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Déterminer l’ensemble (C ) des points M de (P) d’affixe z vérifiant

∣(1− i p 3)z

p 3− i

∣= 4.

2. Déterminer l’écriture complexe de la similitudedirecte S transformant le point A d’affixe i en O origine du repère et transformant le point B d’affixe

p 3 en B′

d’affixe −4i.

Préciser le centre, le rapport et l’angle de S.

3. En utilisant les résultats établis au 2. retrouver l’ensemble (C ) défini au 1.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB = AC et (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

2 modulo 2π. Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].

On appelle R la rotation de centre I et d’angle de mesure π

2 et T la translation de

vecteur 1

2

−−→ BC .

On pose f = R T et g = T R.

1. a. Déterminer l’image de K par f , et l’image de J par g .

b. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .

2. a. Déterminer la nature de la transformation gf −1 ( f −1 étant l’application réciproque de f ).

b. Chercher l’image de A par g f −1 et caractériser alors cette application.

c. SoitM unpoint quelconqueduplan,M1 l’imagedeM par f etM2 l’image deM par g .

Quelle est la nature du quadrilatère ACM2M1 ?

PROBLÈME 12 POINTS

On considère pour n entier naturel non nul la fonction numérique fn définie sur [0 ; +∞[ par

{

fn(x) = xn (lnx)2 si x appartient à ]0 ; +∞[ fn(0) = 0.

On appelle (Cn ) la courbe représentative de fn dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(l’unité étant 4 cm).

Question préliminaire

Montrer que fn a pour limite 0 en 0.

A. Dans toute cette partie, on choisit n = 1

1. Étudier la dérivabilité de f1 en 0.

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

2. Établir le tableau de variations de f1.

3. Construire la courbe (C1) en précisant la tangente au point 0.

4. a. Écrire une équation cartésienne de la tangente à (C1) en son point d’abs- cisse x0 (x0 réel strictement positif donné).

b. Quelle relation x0 doit-il vérifier pour que cette tangente passe par le point A de coordonnées (2 ; 0) ?

5. a. Établir le tableau de variations de la fonction numérique h définie sur ]0 ; +∞[ par

h(x)= 2− x+ ln x.

b. Justifier que l’équation h(x)= 0 admet dans ]0 ; +∞[ deux solutions dis- tinctes.

Donner pour chacuned’elles un encadrement décimal d’amplitude 10−1 .

c. Déduire des questions précédentes le nombre de tangentes, autres que l’axe des abscisses, à la courbe (C1) issues du point A(2 ; 0).

B. Dans cette partie n appartient àN∗

1. Étudier, pour n> 2, la dérivabilité de fn en 0.

2. Établir, pour n> 2, le tableau de variations de fn .

3. Étudier, pourn appartenant àN∗, la position relative des courbes (Cn) et (Cn+1).

4. Construire la courbe (C2) dans le même repère que (C1) en précisant sa tan- gente au point O.

C. Soit λ un réel appartenant à ]0 ; 1[

Pour tout entier naturel n non nul on appelle In (λ) l’intégrale définie par

In (λ)= ∫1

λ fn (x)dx.

1. Étudier le sens de variation de la suite (In (λ))n∈N∗ . Montrer qu’elle est conver- gente.

2. À l’aide de deux intégrations par parties calculer In (λ) en fonction de n et de λ.

3. Déduire de 2. :

a. λ étant fixé, la limite de la suite (In (λ)) quand n tend vers +∞.

b. n étant fixé, la limiteΨ(n) de In (λ) quand λ tend vers zéro.

4. En admettant que Ψ(n) représente l’aire de la partie du plan délimitée par (Cn), les droites d’équations x = 0, x = 1 et l’axe des abscisses, calculer en cm2

l’aire de la partie du plan délimitée par (C1) , (C2) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Espagne 2 juin 1990

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