Le plan complexe - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur le plan complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le mouvement rectiligne, la fonction numérique de la variable réelle x, le tableau des variations.
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ClermontFerrandCjuin1971*.dvi

[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1971 \

EXERCICE 1

Dans le plan complexe, soitm le point d’affixe z etm′ le point d’affixe z ′, tels que

z+ z ′ = 4.

Montrer quem′ est l’image dem par la symétrie, S , de centre I et d’affixe 2.

Soit R la rotation de centre O, d’affixe 0 et d’angle π

2 .

Montrer que R′ =R ◦S est une rotation, dont on précisera le centre en en donnant l’affixe et l’angle.

EXERCICE 2

On considère le mouvement rectiligne défini par

x(t)= cos3t + p 3sin3t .

1. Montrer que l’on peut écrire x(t) sous la forme a cos(ωt+ϕ), où a,ω etϕ sont des nombres indépendants de t . Déterminer a, ω et ϕ ; on prendra ϕ tel que

π<ϕ<π.

2. Déterminer la période du mouvement. Préciser, à l’intérieur d’une période, les instants et les abscisses où la vitesse diminue, les instants et les abscisses où elle augmente.

PROBLÈME

Soit fa la fonction numérique de la variable réelle x définie par

fa(x)= x2 cosa−2x+cosa

x2−2x cosa+1 ,

a est un paramètre réel tel que 0< a <π.

1. Étudier la fonction f π 3 .

Tracer la courbe représentative (

C π 3

)

de cette fonction dans un repère ortho-

gonal (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes x′Ox et y ′Oy et tel que ∥

−→

∥= 2 ∥

−→ ı

∥ (onpourra prendre −→ ı de longueur 1 cm).

2. Montrer que, quel que soit a et quel que soit x, on a les inégalités

fa (x)+1> 0 et − fa (x)+1> 0.

En déduire que, quel que soit a, les valeurs de la fonction fa sont comprises entre −1 et +1.

Ces valeurs extrêmes sont-elles atteintes ? Si oui, pour quelles valeurs de x ? Que peut-on en conclure, concernant l’intersection des courbes (Ca ) ?

3. Étudier la fonction fa Endonner le tableau des variations. Onne demande pas d’en construire la courbe représentative (Ca). On pourra, en quelques mots,

comparer son allure à celle de la courbe (

C π 3

)

.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

4. a. On désigne par (Da) la tangente à (Ca) en son point d’intersection Ba avec Oy .

Montrer que (Da) rencontre (Ca) en un point Ma distinct du point Ba . Déterminer, en fonction de a, les coordonnées du point Ma .

Déterminer l’ensemble parcourupar le pointMa , lorsque a varie sur l’in-

tervalle ]0 ; π[, et en dessiner la représentation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

du 1. ?

b. Déterminer l’ensemble des points du plan par lesquels il passe une seule droite (Da)

En dessiner la représentation dans un repère orthonormé (

O, −→ I ,

−→ J

)

.

Clermont-Ferrand 2 juin 1971

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