Le plan complexe muni d’un repère orthonormal – travaux pratiques de géométrie algorithmique –  1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Le plan complexe muni d’un repère orthonormal – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

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Le plan complexe muni d’un repère orthonormal – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la similitude plan directe d’angle, le barycentre du système des points pondé...
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[ Baccalauréat C juin 1990 \ Aix–Marseille–Nice–Corse–Montpellier–Toulouse

EXERCICE 1 4 points

Soit P la plan complexe muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité graphique

1 cm. On donne les points A et B d’affixes respectives 12 et 9i et l’application f de P dans P qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe Z définie par

Z =− 3

4 iz+9i.

1. Démontrer que f admet un point invariantΩ de coordonnées

(

108

25 ; 144

25

)

.

Démontrer que f est une similitude plan directe d’angle − π

2 , de rapport

3

4 .

Quel est son centre ?

2. Quelles sont les images par f des points A etO ?

Montrer queΩ est commun aux deux cercles (C1) et (C2) de diamètres respec- tifs [OA] et [OB].

Établir queΩ est le pied de la hauteur issue deO dans le triangleOAB et mon- trer queΩA×ΩB =ΩO2.

Faire une figure comportant les points Ω, A, B ainsi que les cercles (C1) et (C2).

EXERCICE 2 4 points

A B

C

GH

E F

D

O2O1 ++

On considère un cube ABCDEFGH, on appelleO1 etO2 les centres respectifs des faces ADHE et BCGF. Soit N un point du segment [HF] et P un point du segment [AC] définis par −−→ HN = k

−−→ HF et

−→ AP = k

−−→ AC où k ∈ [0 ; 1].

1. Montrer queNest barycentre du systèmedes points pondérés {(H, 1−k), (F, k)} et que P est barycentre du système des points pondérés {(A, 1−k), (C, k)}

2. Soit d le demi-tour d’axe (O1O2).

Quelles sont les images par d des points A, C et P ?

3. I étant le milieu du segment [NP], montrer que −−→ HN +

−→ AP = 2

−−→ O1I puis que

−−→ HF +

−−→ AC = 2

−−−−→ O1O2 .

En déduire que −−→ O1I+= k

−−−−→ O1O2 , k ∈ [0 ; 1].

Quel est l’ensemble des points I lorsque k décrit l’intervalle [0 ; 1] ?

PROBLÈME 4 points

L’objet de ce problème est l’étude de quelques propriétés des fonctions fn , n ∈N⋆, définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

fn (x)= xnn lnx

x .

La représentation graphique de fn dans le plan rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

est appelée Cn . On prendre 2 cm pour unité graphique.

A. Étude des variations de fn , (n ∈N⋆).

1. Soit, pour tout entier naturel n non nul, la fonction gn définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

gn(x)= x 2 −n+n lnx.

Étudier le sens de variation de gn , préciser ses limites en 0 et en +∞. Montrer que l’équation gn(x) = 0 admet une solution unique notée αn et que cette solution appartient à l’intervalle [1 ; 3].

2. Établir, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, f n (x)= gn(x)

x2 ; étudier le signe de gn(x) et en

déduire le sens de variation de fn .

3. Étudier les limites de fn en 0 et en +∞. Montrer que la droite Dn d’équation y = xn est asymptote à la courbe Cn . Étudier la position de Cn par rapport àDn lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[.

Étude des cas particuliers n = 1 et n = 2.

1. αn étant le nombre défini en ??, montrer que pour n = 1, α1 = 1 et que, pour n = 2, 1,2<α2 < 1,3.

2. En utilisant les règles sur les inégalités et l’encadrement deα2 ci-dessus, mon- trer que l’on a f2(α2)>−1,24.

En utilisant le sens de variation de f2 montrer que f2(α2)6−1,10.

3. Former les tableaux de variations de f1 et f2.

4. Représenter dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→

)

les droites D1 et D2, puis les

courbes C1 et C2.

5. Calculer en cm2 la valeur exacte de l’aire S1 de la partie du plan comprise entre C1 et les droites d’équations x = 1, x = e, y = 0.

C. Étude des positions relatives des courbes Cn .

1. Pour tout entier naturel non nul et pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, cal- culer la différence fn (x)− fn+1(x).Calculer la limite de cette différence lorsque x tend vers +∞.

2. Soit d la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

d(x)= 1+ lnx

x .

a. Étudier les variations de d , préciser ses limites en 0 et en +∞.

b. Déduire de la question précédente que l’équation d(x) = 0 admet une solution unique β et que β appartient à l’intervalle [0 ; 1].

c. Montrer que pour tout entier naturel non nul on a fn (β)=β.

3. À l’aide des résultats obtenus dans la question 1. et 2. de cette partie, établir que les courbes Cn se coupent en un point A que l’on placera sur la figure.

Pour n ∈N⋆ préciser les positions relatives de Cn et Cn+1.

Nice 2 juin 1987

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