Le plan complexe – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 8, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Le plan complexe – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le plan complexe – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble (C) des points M de (P) d’affixe z, Chercher l’image de A.
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[ Baccalauréat C Asie 1 juin 1990 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On prend six cartons identiques. Sur chaque carton on écrit une, et et une seule, des six lettres du mot FRANCE ; chacune des lettres de ce mot est utilisée. On place ces cartons dans une urne. On les en extrait au hasard un à un, chaque carton ayant la même probabilité d’être tiré, et on note les lettres obtenues dans l’ordre de leur apparition.

1. Calculer, dans l’hypothèse où ces six tirages se font sans remise, les probabili- tés des évènements suivants.

a. On obtient les lettres du mot FRANCE dans l’ordre.

b. On obtient dans l’ordre de leur apparition, les trois premières lettres FRA dumot FRANCE et les trois autres lettres dans le désordre.

2. Reprendre les questions ci-dessus lorsque les six tirages s’effectuent en remet- tant à chaque fois dans l’urne le carton obtenu.

EXERCICE 2 5 POINTS

A B

O

H

I

Soit ABO un triangle équilatéral du plan orienté tel que (−−→ OA ,

−−→ OB

)

= 2π

3 (à 2π près).

On note H le milieu de [AB], I celui de [OB] et ∆ la médiatrice de [AB]. On note s la similitude plane directe de centre O transformant le point A en I. M désigne un point quelconque du plan et M ′ son image par s.

1. a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s.

b. Construire le point C du plan tel que s(C) = A. On justifiera soigneuse- ment cette construction.

c. Exprimer AM ′ en fonction de CM .

2. On note M ′′ l’image du point M par la réflexion d’axe ∆. On se propose de déterminer l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que A soit équidistant de M ′ etM ′′.

1. Japon, Hong-Kong, Singapour

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

a. Montrer que AM ′′ = BM .

b. Montrer que M appartient à (Γ) si, et seulement si, CM = 2BM .

c. Déterminer la nature de (Γ), puis construire (Γ).

PROBLÈME 11 POINTS

1. On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x)= exp (

x2 )

, c’est-à-dire f (x)= e−x 2 .

a. Étudier f (parité, sens de variation, limites).

b. On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Tracer la portion de (C ) délimitée par ses points

d’abscisses −2 et 3.

2. On se propose dans cette partie d’étudier l’équation (E) : f (x)= x. a. Montrer que (E) ne peut avoir de solution négative.

A l’aide de l’étude des variations de la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

g (x)= f (x)− x

montrer que l’équation (E) admet une unique solution α, puis que α ap- partient à l’intervalle I = [0,5 ; 0,8].

b. Préciser le sens de variation de la fonction f ′ (dérivée de f ) sur l’inter- valle I. En déduire que pour tout x élément de I on a :

f ′(x) ∣

∣6

f ′ (p

2

2

)∣

puis que | f ′(x)|6 0,9.

c. On définit une suite (un )n∈N de réels par :

{

u0 = 0,5 un+1 = f (un )

pour tout entier natureln.

i. Montrer que, pour tout entier naturel n, un appartient à I.

ii. Montrer, à l’aide de l’inégalité des accroissements finis, que pour tout entier naturel n :

|un+1−α|6 0,9 |un α| .

En déduire que, pour tout entier naturel n :

|un α|6 0,3× (0,9)n .

Quelle est la limite de (un )n∈N ?

3. Dans cette partie, on se propose d’étudier la fonction numérique F définie sur R par :

F : x 7−→ F (x)= ∫x

0 e−t

2 dt

c’est-à-dire la primitive de f s’annulant au point x = 0. On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

a. Étudier le sens de variation de F .

Asie 2 juin 1990

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

b. Interpréter géométriquement F (x) pour x positif puis pour x négatif. En déduire que F est impaire.

c. i. Vérifier que pour tout t supérieur ou égal à 2 on a :

e−t 2 6 e−2t .

En déduire que, pour tout x supérieur ou égal à 2, on a :

F (x)−F (2)6 ∫x

2 e−2t dt .

ii. Calculer ∫x

2 e−2t dt .

En déduire que, pour x > 2 : F (x)− F (2) 6 1

4 e−4, puis que F est

majorée sur R.

iii. On admet que F a une limite en +∞. Montrer que :

06 F (2)6 10−2.

iv. On considère les points A0 , A1, A2, A3, A4 de la courbe représentative

(C ) de f définie au 1., d’abscisses respectives 0, 1

2 , 1,

3

2 et 2.

Calculer à l’aide de la calculatrice l’aire de la partie du plan délimitée par la ligne polygonale A0A1A2A3A4 l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 2. Ce nombre est une valeur approchée de dont on ne demande pas la précision.

d. En rassemblant les résultats précédents, donner l’allure de la courbe re- présentative de F .

Asie 3 juin 1990

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