Le plan et le vecteur accélération - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

Le plan et le vecteur accélération - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur le plan et le vecteur accélération. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème des accroissements finis, les relations, tous les cas possibles.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1971 \

EXERCICE 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé xOy , de vecteurs unitaires −→ ı et

−→ . Un

point M se déplace dans le plan et le vecteur accélération, Γ, de sonmouvement est

constamment égal au vecteur

−→ ı +

−→ = b

p 2.

Au temps t = 0, le mobile est au point O et le vecteur vitesse est alors −→ V0 =

−→ ı .

Former l’équation vectorielle dumouvement.Déterminer la trajectoire par son équa-

tion dans le repère xOy , puis la préciser en choisissant un repère orthonormé dans

lequel un des vecteurs unitaires est −→ b .

Déterminer la loi horaire du point M ; en particulier, déterminer la position de M

correspondant à la vitesse minimale.

(Faire un graphique en prenant 4 cm pour module des vecteurs −→ ı et

−→ .)

EXERCICE 2

On donne l’application f de R dans R définie par (

f (x)= 3 p 64+ x .

Utiliser le théorème des accroissements finis sur le segment [0 ; 1] pour donner un

encadrement de 3 p 65.

PROBLÈME

Partie A

On donne dans le plan deux droites xx et y y concourantes en O, de vecteurs direc-

teurs respectifs −→ ı et

−→ .

Une transformationponctuelle,T , est définie dans le plan rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de la manière suivante :

le point M de coordonnées (x ; y) a pour transformé le point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

vérifiant les relations

{

x′ = kx y ′ = k y,

k et k ′ étant deux nombres réels donnés non nuls. On désignera par P et P′ les projections deM et deM ′ sur xx parallèlement à y y et

par Q et Q’ les projections deM et M ′ sur y y parallèlement à xx.

1. Montrer que T est le produit, commutatif, de deux affinités, dont on préci- sera les éléments. Montrer que T est une bijection du plan dans lui-même et

définir la transformation réciproque, T −1.

Quels sont les points doubles de T ? Discuter suivant les valeurs de k et k ′.

Déterminer l’équation de la transformée (D ′) par T de la droite (D) d’équa-

tion ax+by +c = 0. En déduire les droites globalement invariantes par T [c’est-à-dire telles que

(D) et (D ′) soient confondues].

Examiner avec soin tous les cas possibles.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On suppose dans cette question k 6= 1, k ′ 6= 1 et k 6= k ′. a. SiM et M ′ sont distincts, la droiteMM ′ coupe xx en N et y y en N ′.

Montrer que le birapport (

N ,N ′,M ,M ′ )

ne dépend que des nombres k et

k ′.

b. Soit (∆) une droite passant par O distincte de xx et y y et (∆′) sa trans- formée par T .

Montrer que les droites xx, y y, (∆) et (∆′) forment un faisceau dont le

birapport ne dépend pas du choix de (∆).

Peut-on choisir k ′ et k pour que ce faisceau soit harmonique ?

Dans toute la suite duproblème, les droites xx et y y sont perpendiculaires et le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé.

Partie B

α,β et R étant des réels donnés, on considère le cercle (C) d’équation

(xα)2+ (y β)2 =R2.

Montrer que le transformé (C ′) du cercle (C ) parT est une ellipse ou un cercle ayant pour centre le transformé du centre de (C ).

On précisera, lorsque (C ′) est une ellipse, la direction du grand axe et celle du petit

axe.

Partie C

On suppose maintenant k > 0, k 6= 1 et k ′ =−k.

1. a. Montrer queT peut être considérée comme le produit commutatif d’une homothétie positive et d’une symétrie par rapport à une droite.

b. Soit (∆) une droite donnée du plan ; on désigne par S la symétrie par rapport à (∆).

On considère la composée T ◦S des transformations T et S . Préciser la nature de la transformation T ◦S en étudiant successive- ment le cas où (∆) est parallèle à xx et le cas où (∆) coupe xx en I ; on

posera

θ = [xx, (∆)] (mod π).

Montrer que, si θ 6= π

2 , le point double, ω, de la transformation T ◦S

reste sur un arc de cercle, que l’on précisera, lorsque k varie. Que dire de

ω lorsque θ = π

2 ?

2. a. Tracer la courbe (H) d’équation

y = x2−2x x−1

,

puis sa transformée (H ′) par T dans le cas

k = 2 et k ′ =−2.

Préciser les asymptotes de ces deux courbes.

Bordeaux 2 septembre 1971

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. X étant un réel vérifiant 0< X < 1, calculer l’aire ( ∑

) de la surface limitée

par xx, le point O, la courbe (H) et la droite d’équation x = X . Calculer l’aire

(

∑′) de la surface limitée par xx, le point O, la courbe (H ′) et la droite d’équation

x = 2X .

On vérifiera que (

∑′)= 4( ∑

).

N.-B. - On rappelle que l’aire d’une surface est un nombre positif ou nul.

Bordeaux 3 septembre 1971

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