Le système décimal - travaux pratiques de sciences mathématiques 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 1 sur le système décimal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’intermédiaire du système décimal, le système à base dix, Étude de la transformation T.
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[ Baccalauréat C Madagascar juin 1968 \

Exercice 1

Les nombres dix et onze du système décimal sont représentés respectivement par α et β. Montrer, sans passer par l’intermédiaire du système décimal, que le nombre qui s’écrit α040β dans le système à base douze est divisible par onze. Écrire ce nombre dans le système à base dix.

Exercice 2

Résoudre l’inéquation

log22x > 1+ log8(3x+2).

Exercice 3

PREMIÈRE PARTIE

Le plan étant rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, O étant l’origine, −→ ı et

−→ respective-

ment les vecteurs unitaires des axes x′Ox, y ′Oy , on définit la transformation ponc- tuelle T du plan de la façon suivante : tout pointm du plan, de coordonnées (x ; y), est transformé par T en le point M de coordonnées (X ; Y ) telles que

(1)

{

X = x+3y, Y = 3x+ y

et l’on note cette transformation

m T −→M = T (m).

Étude de la transformation T

1. a. Tout point du plan a-t-il un transformé par T ?

b. Tout point du plan est-il transformé par T d’un point unique du plan ?

En déduire que la transformation T est une application bijective du plan sur lui-même.

Écrire les relations (2), analogues aux relations (1), qui définissent T−1, transformation réciproque de T , c’est-à-dire, on le rappelle, telle que

T T−1 = T−1 ◦T =U ,

U désigne la transformation identique du plan sur lui-même. (On rappelle que g f est le produit de l’application f par l’application g .)

c. La transformation T admet-elle des points doubles ?

2. a. Dans l’ensemble des points du plan, on définit la loi de composition in- terne suivante, notée (+) : à deux points quelconques, a et b, du plan, on

fait correspondre le point unique c défini par −−→ Oc =

−−→ Oa +

−−→ Ob et l’on note

c = a+h. On a donc

(c = a+b) ⇐⇒ (−−→ Oc =

−−→ Oa +

−−→ Ob

)

.

Montrer que T (a+b)= T (a)+T (b).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Dans l’ensemble des points du plan, on définit la loi de composition externe suivante, notée multiplicativement : à tout couple (λ, a), où λ est un nombre réel et a un point du plan, on fait correspondre le point

unique b défini par −−→ Ob =λ

−−→ Oa et l’on note b =λa.

On a donc

(b =λa) ⇐⇒ (−−→ Ob =λ

−−→ Oa

)

.

Montrer que T (λa)= λT (a), puis que T (λa+µb)= λT (a)+µT (b), où λ et µ sont des nombres réels.

c. Montrer que l’ensemble des points du plan muni des deux lois de com- position définies ci-dessus a une structure d’espace vectoriel sur le corps des réels.

3. Montrer que le barycentre,m, d’un système de n points, a1, a2, . . . , an affectés respectivement de coefficients réels, λ1λ2, . . . , λn ’ dont la somme n’est pas nulle, est défini par l’égalité

m = 1

λ1+λ2+ . . .+λn (λ1a1+λ2a2+ . . .+λnan) .

En déduire que l’image par T du barycentre de n points est le barycentre des images par T de ces n points.

En particulier, en utilisant le fait que tout point m d’une droite déterminée par deux points, a et b, peut être considéré comme le barycentre de ces deux points affectés de coefficients convenables, en déduire que :

– la transformée par T d’une droite est une droite ; – la transformée par T du milieu d’un segment ab est le milieu du segment

AB , où A = T (a) et B = T (b) ; – la transformée par T d’une division harmonique est une division harmo-

nique.

4. Existe-t-il des pointsm et des nombres réels λ tels que

M = T (m)=λm?

Montrer que l’ensemble des pointsm possédant cette propriété est constitué de deux droites passant par O.

5. a. b étant un point du plan, distinct deO, et a unpoint quelconque duplan, montrer que tout pointm de la droite passant par a et parallèle àOb peut être caractérisé par l’égalitém = a+ρb, où ρ est un nombre réel.

Quelle est la direction de la transformée par T de cette droite ?

b. Soit (C ) la courbe, ensemble des points m du plan tels que −−→ Om =

−−−→ F (u) ,

u est une variable réelle et où −−−→ F (u) est le vecteur de composantes

f (u) et g (u), f et g étant deux fonctions numériques dérivables de la variable réelle u.

Déduire de la partie a de cette question 5 que, si (C ) admet une tangente, mt , en m, sa transformée

(

C ′ )

par T admet une tangente, MT , en M , transformée demt .

SECONDE PARTIE

On suppose, dans toute cette partie, que le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

est orthonormé.

2 juin 1968

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. On considère le nouveau repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1

)

, −→ ı1 et

−→ 1 étant définis par

−→ ı1 =

1 p 2

(−→ ı +

−→ )

et

−→ 1 =

1 p 2

(

− −→ ı +

−→ )

Montrer que cenouveau repère est orthonorméet que l’onpasse de (

O, −→ ı ,

−→ )

à (

O, −→ ı1 ,

−→ 1

)

par une transformation simple, que l’on caractérisera.

2. Soitm le point du plan de coordonnées (

x1 ; y1 )

dans le repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1

)

.

Quelles sont les coordonnées deM = T (m) dans ce même repère ?

En déduire que T = I J = J I , où I et J sont deux affinités orthogonales

ayant pour axes respectifs ceux du repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1

)

et dont on précisera les rapports.

Montrer que l’on peut également écrire

T =H1 ◦ I ′ = I ′ ◦H1 =H2 ◦ J

′ = J ′ ◦H2,

H1 et H2 sont deux homothéties de centre O, dont on précisera les rap- ports, et I ′ et J ′ deux affinités orthogonales ayant pour axes ceux du repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1

)

et dont on précisera les rapports.

3. On donne, dans le plan, le cercle (Ω) de centreω de rayon R, oùω est un point donné du plan et R un nombre réel positif donné.

Quelle est la nature de la courbe T (Ω), transformée par T du cercle (Ω) ?

Préciser la direction de ses axes.

Quelle relation existe-t-il entre le centre de (Ω) et celui de T (Ω) ?

(On pourra utiliser les résultats de la question 2 de la seconde partie.)

4. Soit p et q deux points fixes du plan, symétriques par rapport à O et n’apparte- nant pas aux axes des affinités précédentes. On considère le faisceau linéaire de cercles (F ) ayant pour points limites p et q .

a. Montrer que l’ensemble, noté T (F ), des transformés des cercles du fais- ceau (F ) est une famille d’ellipses ayant toutes lesmêmesdirections d’axes et la même excentricité.

Quel est l’ensemble des centres de ces ellipses ?

En utilisant T−1 montrer que, par tout point M du plan n’appartenant pas à une droite (∆) passant par O, que l’on caractérisera, il passe une ellipse et une seule de la famille T (F ), ellipse dont on construira les som- mets.

Montrer que chaque ellipse de T (F ) coupe la droite PQ , où P = T (p) et Q = T (q), en deux points conjugués harmoniques par rapport à P etQ .

Montrer que par tout point M appartenant à (∆) passent deux tangentes à chacune des ellipses de la famille T (F ) et que les droites joignant les points de contact des deux tangentes ainsi obtenues passent par un point fixe.

3 juin 1968

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