Le triangle équilatéral - travaux pratiques de sciences mathématiques 14, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 14 sur triangle équilatéral. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme réduite du produit des transformations, les coordonnées du barycentre, la bissectrice de ...
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[ Baccalauréat C Sud-Vietnam juin 1968 \

SÉRIE C

Exercice 1

Dans le plan orienté, on donne un triangle équilatéral ABC, de sens direct, de centre O. Déterminer la forme réduite du produit des transformations planes suivantes, effec- tuées dans l’ordre indiqué :

– rotation de centre B et d’angle + π

3 , notée R

(

B, + π

3

)

,

– translation de vecteur −−→

BC , notée T (

−−→

BC )

,

– rotation de centre C et d’angle + π

3 , notée R

(

C, + π

3

)

.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé, d’axes x′Ox et y ′Oy . Soit a un nombre positif donné, B le point de coordonnées (3a ; 0) et C le point de coordonnées (0 ; 4a).

1. Déterminer les coordonnées du barycentre, G des trois points O, B et C, affec- tés respectivement des coefficients α=+1, β=−2, γ=+3.

2. Déterminer, dans le plan considéré, l’ensemble des points M tels que

MO2−2MB2+3MC2 = ka2,

k étant un nombre réel donné.

Exercice 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, d’axes x′Ox, y ′Oy , on considère le point A, de coordonnées x = 0, y = 2. Soit (C ) le cercle de centre A et de rayon 1. ‘Z tout point M du cercle (C ) on associe l’angle

θ = (

−−→

Ox , −−→

AM )

.

La tangente en M à ce cercle coupe x’Ox au point I.

1. a. Calculer OI=λ en fonction de θ.

Calculer endegrés, avec la précisionpermise par les tables de logarithmes, la valeur de θ comprise entre −90o et +90o pour laquelle λ= 2.

b. On pose tg θ

2 = t . Montrer que λ=

t2+4t +1

1− t2 .

Étudier les variations de λ en fonction de t quand θ varie entre − π

2 et

+

π

2 . Construire le graphe de cette fonction dans un repère orthonormé.

2. On suppose que θ varie entre π

2 et

π

2 .

Soit Iz la bissectrice de l’angle de vecteurs (

−→

Ix , −−→

IM )

. Elle coupe la droite AM en ω.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Déterminer les équations des droites Iz et AM et montrer que les coor- données deω en fonction de t sont

= 3(1+ t)

1− t et =

2 (

t2+ t +1 )

(1− t)2 .

Quel est, quand θ varie, l’ensemble des points ω ?

b. On considère le cercle (Γ), de centre ω et de rayon ωM . Montrer que ce cercle est tangent en Q à x′Ox et retrouver géométriquement l’ensemble des points ω lorsque M décrit (C ).

3. Soit P le centre d’homothétie positive des cercles (C ) et (Γ). P se projette ortho- gonalement en P′ sur x′Ox ; M se projette orthogonalement en M ′ sur x′Ox.

a. Démontrer que les quatre points P′, M ′, O et Q forment une division har-

monique. En déduire la mesure algébrique OP′ en fonction de t .

b. On considère l’inversion de pôle O et de puissance −3.

Construire les transformés des cercles (C ) et (Γ) et de la droite MI par cette inversion.

Soit K le centre du cercle transformé de la droite MI. Déterminer géomé- triquement l’ensemble des points K .

Sud-Vietnam 2 juin 1968

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