Les affixes des points A, C, I et K – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les affixes des points A, C, I et K – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (42.5 KB)
3 pages
102Numéro de visites
Description
Les affixes des points A, C, I et K – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’écriture complexe de S. les coordonnées de ­A.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AmeriqueSudCdec1990.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud décembre 1990 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan P orienté, on considère un carré ABCD tel que l’angle (

−−→ AB ,

−−→ AD

)

a pour

mesure π

2 .

On désigne par I et K les milieux respectifs des segments [AC] et [CD]. Représenter ces points sur une figure. (On choisira AB = AD = 4 cm.) On se propose d’étudier la similitude directe S telle que :

S(A)= I et S(C)=K.

1. Recherche géométrique des éléments de S.

a. Donner le rapport et l’angle de S.

b. Démontrer que le centreΩ de S est le point d’intersection autre que I des cercles de diamètres [AD] et [IC]. Placer ces cercles etΩ sur la figure.

2. Recherche du centre de S à l’aide des nombres complexes.

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD

)

.

a. Donner les affixes des points A, C, I et K.

b. Donner l’écriture complexe de S.

c. En déduire les coordonnées deΩ.

EXERCICE 2 4 points

Soit ∆1 et ∆2 deux droites distinctes de l’espace. On note R1 et R2 les demi-tours d’axes respectifs ∆1 et ∆2. Le but de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante por- tant sur ∆1 et ∆2 pour que R2 ◦R1 =R1 ◦R2.

1. On suppose que ∆1 et ∆2 sont sécantes en un point noté O et sont orthogo- nales. On note ∆ la droite orthogonale en O au plan P contenant ∆1 et ∆2.

On note P1 et P2 les plans passant par∆ et contenant respectivement ∆1 et∆2.

a. Faire une figure.

b. On note SP , SP1 et SP2 les réflexions par rapport aux plans P, P1 et P2. Déterminer SP ? SP1 et SP2 ? SP.

c. En déduire que R2 ◦R1 est le demi-tour R∆ d’axe ∆.

d. Prouver que R2 ◦R1 =R1 ◦R2.

2. Réciproquement, on suppose que R2 ◦R1 =R1 ◦R2.

Soient A un point de ∆1 qui n’appartient pas à ∆2 et B l’image de A par R2.

a. Montrer que la droite (AB) et la droite∆2 sont sécantes et orthogonales.

b. En utilisant la relation R2 ◦R1 =R1 ◦R2, prouver que B = R1(B).

c. En déduire que ∆1 et ∆2 sont sécantes et orthogonales.

PROBLÈME 12 points

Le problème propose : Dans la partie A : l’étude d’une fonction numérique f et de l’équation f (x)= x.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Dans les parties B etC : la constructionde deux suites convergeant avec des rapidités différentes vers la solution de l’équation précédente.

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(l’unité graphique sera préci-

sée lorsqu’une représentation sera demandée.

Partie A

Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= ln

(

1+ 1

x

)

1. Déterminer le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ et les limites de f en 0 et en +∞.

2. Tracer (figure numéro 1) la courbe représentativeC de f et la droite∆ d’équa- tion y = x. (Unité graphique : 1 cm).

3. On s’intéresse à l’intersection de C et de ∆.

On pose, pour tout x > 0, ϕ(x)= ln

(

1+ 1

x

)

x.

a. Déterminer le sens de variation de ϕ sur ]0 ; +∞[ et les limites de ϕ en 0 et en +∞.

b. En déduire que la droite ∆ coupe la courbe C en un point et un seul qu’on notera I.

On désigne par α l’abscisse de ce point. Vérifier l’encadrement :

0,7<α< 0,9.

Partie B

On désigne par J l’intervalle [0,7 ; 0,9].

1. Démontrer que si x ∈ J alors f (x) ∈ J.

2. a. Prouver que, pour tout x de J, | f ′(x)|6 0,85.

b. En déduire que, pour tout x de J, | f (x)− f (α)|6 0,85|xα|.

3. On définit la suite (un ) de points de J par

u0 = 0,9 et, pour toutn> 0, un+1 = f (un ) .

a. Tracer (figure no 2) la partie de la courbe C d’équation y = f (x) pour la- quelle x ∈ [0,5 ; 1,5] et la droite ∆ d’équation y = x. (Unité graphique : 10 cm.)

b. En s’aidant du graphique et sans chercher à les calculer, représenter sur

l’axe (

O ; −→ ı

)

les termes u0, u1, u2, u3.

4. a. Prouver que, pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6 0,85 |un α| , puis que

|un α|6 0,2× (0,85) n .

En déduire que la suite (un ) converge vers α.

Donner des valeurs approchées avec six décimales des termes un pour n entier variant de 1 à 10.

b. Déterminer un entier naturel n0 tel que ∣

un0 −α

∣6 10−6.

Amérique du Sud 2 décembre 1990

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie C

Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

h(x)= xex x−1.

1. Démontrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, les deux équations d’inconnue x

ϕ(x)= 0 et h(x)= 0

ont le même ensemble de solutions.

On a donc h(α)= 0.

2. On note H la courbe de h, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Calculer h′(x) et prouver que h′(x)> 0 pour x ∈]0 ; +∞[.

b. Tracer (figure no 3) la partie de la courbe H pour laquelle x ∈ [0 ; 1]. (Unité graphique : 10 cm.)

Placer la tangente à H au point d’abscisse 0,9.

3. Soit a un nombre réel de l’intervalle ]α ; 0,9]. Soit T la tangente à la courbeH au point M d’abscisse a.

On désigne par b l’abscisse du point d’intersection de T et de l’axe (

O ; −→ ı

)

.

a. Écrire une équation cartésienne de T.

b. Exprimer b en fonction de a.

4. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x2ex +1

ex (x+1)−1 .

On rappelle qu’on a montré en C 2. a. que ex (x+1)−1> 0 pour x > 0.

(On vérifiera que b = g (a), où a et b ont été définis à la question précédente.)

On définit la suite (vn) de nombres réels en posant :

v0 = 0,9 et, pour tout n> 0, vn+1 = g (vn) .

On admet que la suite (vn) converge vers le nombre réel α.

a. En s’aidant de la figure no 3, et sans chercher à les calculer, représenter

sur l’axe (

O ; −→ ı

)

les termes v0, v1 et v2.

b. Calculer v1, v2, v3 et v4. On donnera pour chaque résultat une valeur décimale approchée par excès comportant six décimales.

On note v4 celle de v4.

c. Déduire des signes des nombres h (

v4 )

et h (

v4−10−6 )

un encadrement de α à 10−6 près.

Comparer avec les résultats obtenus dans la partie B.

Amérique du Sud 3 décembre 1990

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document