Les coordonnées d’un point variable - travaux pratiques de sciences mathématiques 13, Exercices de Mathématiques Appliqués

Les coordonnées d’un point variable - travaux pratiques de sciences mathématiques 13, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (45.7 KB)
4 pages
338Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de sciences mathématiques 13 sur les coordonnées d’un point variable. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la trajectoire de ce mobile, la longueur de son vecteur vitesse, les nombres réels ...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Strasbourgoraljuin1968.dvi

[ Baccalauréat C (oral) Strasbourg juin 1968 \

Exercice 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point variable M sont, définies en fonction du temps, t , par les formules suivantes :

{

x = a(1+cos2t), y = b sin2t , (a > b > 0).

1. Quelle est. la trajectoire de ce mobile ?

2. Calculer, en fonction de t , la longueur de son vecteur vitesse.

3. Déterminer l’hodographe dumouvement du point M .

Exercice 2

Soit (E) l’ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormé dont les coordonnées, x et y , satisfont la relation suivante :

y2 = ax2+bx +c, où a,b et c désignent des nombres réels donnés. Étudier, suivant les signes de a et de 4ac b2, la nature de l’ensemble (E).

Exercice 3

On considère, dans le plan complexe, deux points fixes, A et B, d’affixes a et b, et un point variable M , d’affixe z. Soit Z le nombre complexe défini par

Z = z a z b

1. Déterminer l’ensemble des points M tels que Z ait un module, r , donné.

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que Z ait un argument θ donné (à près).

3. Déduire de ce qui précède la construction du point M tel que, c étant l’affixe

d’un point donné C, Z soit le complexe conjugué de c a c b

.

Les questions posées à un même candidat sont comprises entre deux traits.

Exercice 1

1. On considère la transformation qui, dans le plan rapporté à un repère ortho- normé, fait correspondre au point M(x ; y) le point M ′ tel que

{

x′ = x y +2, y ′ = X + y −3.

Montrer, en exprimant z ′ = x′+ iy ′ en fonction de z = x + iy , que cette trans- formation est une similitude directe,S1 dont on précisera le centre, le rapport et l’angle.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Identifier de façon analogue la transformation S2 définie par

x′ = p 2

4 x

p 6

4 y,

y ′ = p 6

4 x +

p 2

4 y.

3. Définir géométriquement, puis, par utilisation des nombres complexes, les transformations

R =S1 ◦S2 et R′ =S2 ◦S1.

En déduire sin π

12 et cos

π

12 .

Exercice 2

Un ensemble E a une structure de groupe par une loi de composition interne, notée ⋆. On pose, ∀a ∈ E a a = a2 et, de façon générale,

a a a . . .⋆a = an .

Montrer que, si l’on a

a ∈E, ∀b ∈ E, (a b)2 = a2⋆b2.

le groupe est commutatif. En raisonnant par récurrence, montrer que l’on a alors

(a b)n = an bn .

Résoudre, dans ce groupe abélien, l’équation suivante :

(a b)2⋆ x2⋆a b2 = c x ⋆ (a b)3.

Exercice 3

Dans une rotation, R, de centre A et d’angle α, tout point M du plan se transforme en un point M ′. Soit I un point fixe du plan.

1. Déterminer l’ensemble, (E), des points M tels que la droite M M ′ passe par le point I.

2. Déterminer l’ensemble, (

E′1 )

, des points M tels que, k étant une constante po-

sitive donnée, l’on ait IM

IM ′ = k et l’ensemble,

(

E′2 )

, des points M tels que, θ

étant donné, compris entre 0 et 2π, l’on ait

(

IM , IM ′ )

= θ (mod.π).

[Pour la recherche de (

E′1 )

et (

E′2 )

, on pourra utiliser le point I′, transformé de I par la rotation R.]

Strasbourg 2 juin 1968

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Exercice 1

On considère, dans le plan complexe, l’inversion (I ), de pôle O et de puissance k2 ; cette inversion transforme tout point M , d’affixe z nonnulle, en unpoint M ′ , d’affixe z ′.

1. Montrer que, z désignant le complexe conjugué de z, on a

z ′ = k2

z .

2. À l’aide de cette relation montrer que (I ) est une transformation involutive ; chercher l’ensemble des points invariants ; définir le produit de deux inver- sions positives de pôle O, ainsi que le produit de (I ) et d’une homothétie de centre O.

Chercher enfin les figures transformées par (I ) des cercles de centre O et des droites du faisceau de sommet O.

Exercice 2

1. On considère la fonction

y1 = 4e2x+3−6 6e2x+3+3

.

Calculer la dérivée, y ′1, de y1 par rapport à x, puis, en posant e 2x+3 = X , calcu-

ler la dérivée de y1 par rapport à X et retrouver le résultat précédent.

2. D’une façon analogue, étant donné la fonction

y1 = 4e−2x−3−6 6e−2x−3+3

.

calculer de deux façons la dérivée, y ′1, de y2 par rapport à x.

3. Soit la fonction

y = 4e|2x+3|−6 6e|2x+3|+3

.

Étudier la continuité et la dérivabilité de cette fonction au point d’abscisse

x =− 3

2 .

Exercice 3

Onconsidère la transformationponctuelleT qui, dans un repère orthonormé (Ox, Oy), peut faire correspondre au point M , d’affixe z, le point M ′, d’affixe

z ′ = (α+βi)z + (1−λi), α+β,λ ∈R.

1. Déterminer α et β de telle façon que T soit une similitude directe de rapport

2 et d’angle 3π

2 .

Strasbourg 3 juin 1968

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Les paramètresα etβ étant ainsi fixés, déterminer, lorsque λ varie, l’ensemble des centres de ces similitudes.

Déterminer λ de façon que la droite Oy se transforme en la droite Ox.

La similitude est alors parfaitement définie ; soit Ω son centre. Deux points distincts, A et B, de Oy se transforment en deux points distincts, A′ et B′, de Ox.

Montrer géométriquement que les cercles (OAA′) et (OBB′) se recoupent enΩ.

Exercice 1

Déterminer deux entiers naturels, a et b (a < b), ayant pour somme 264 et pour plus grand commun diviseur 12.

Exercice 2

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy , on désigne par µ le symétrique d’un point m(x ; y) par rapport à la première bissectrice des axes de coordonnées et par m′ le symétrique du point µ par rapport à l’axe xx.

Calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point m′ en fonction des coordonnées (x ; y) du point m.

Quelle est la transformation qui fait passer de m à m′ ?

2. Soit T la transformation dans laquelle le point m(x ; y) a pour transformé le point M(X ; Y ) tel que

{

X = 1+ y, Y = 1− x.

Montrer que cette transformation est une rotation, dont on précisera le centre et l’angle.

Exercice 3

Énoncer le théorème de Gauss.

Exercice 4

Calculer l’intégrale indéfinie suivante :

1

xLog x dx.

Strasbourg 4 juin 1968

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome