Les entiers - - exercices de sciences mathématiques 11, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de sciences mathématiques 11 sur les entiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le reste de la division, les expressions, la fonction.
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[ Baccalauréat C Cambodge et Laos juin 1968 \

Exercice 1

1. Étudier, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division par 7 du nombre

A = n2−n+1.

2. En déduire les entiers n tels que le nombre A soit divisible par 7.

3. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre B = 27532 −2753+1.

Exercice 2

On considère trois points, A, B et C, non alignés. Simplifier les expressions suivantes :

−→

V = −−→

MB + −−→

MC −2 −−→

MA , −→

U = −−→

MB + −−→

MC − −−→

MA .

(On pourra utiliser le point I, milieu de BC et le symétrique, A′, de A par rapport à I.)

En déduire l’ensemble des points M tels que −→

V · −→

U = 0, puis l’ensemble des points

M tels que ∣

−→

V

∣=

−→

U

∣.

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’origine O. On appelle T la trans- formation ponctuelle qui associe à un point M , de coordonnées (x ; y), le point M ′ = T (M) de coordonnées

x′ = 2− x, y ′ = y

x (2− x)

si ces expressions sont définies.

1. Quel est l’ensemble, E, des points M tels que T (M) soit défini ?

Quel est l’ensemble, F, des points M de l’ensemble E tels que T (M) appar- tienne à l’ensemble E ?

2. En supposant que M est unpoint de F, quepeut-ondire dupoint M ′′ = T (

M ′ )

=

T [T (M)] ?

3. Quel est l’ensemble, (∆), des points M tels que M = T (M) ? Quel est l’ensemble des transformés des points d’une droite passant par O ?

Quel est l’ensemble des transformés des points d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées ?

4. Que peut-on dire des trois points O, M et M ′ = T (M) ?

Quel est le lieu dumilieu, I , du segment M M ′ si M décrit l’ensemble E ?

En déduire une construction géométrique de M ′, connaissant M .

5. Trouver l’équation, y = h(x) de la courbe (C ), transformée de la droite d’équa- tion y = x −2.

Étudier la fonction h et construire (C ) en mettant en évidence son centre de symétrie.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit L l’asymptote de (C ) non parallèle à un axe de coordonnées et soit u un nombre supérieur à 4. Exprimer, en fonction de n, l’aire S limitée par L, la courbe C et les droites d’équations x = 4 et x = u.

On pourra, dans cette question, mettre la fonction h(x) sous la forme

h(x)= P (x)+ A

x −2

P est un polynôme et A une constante.

Cambodge et Laos 2 juin 1968

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