Les entiers naturels - exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Mathématiques Appliqués

Les entiers naturels - exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de sciences mathématiques 4 sur les entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base des logarithmes népériens, l’équation de la tangente enM, les équations.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montréal et New York \ septembre 1968

EXERCICE 1

1. Déterminer, dans l’ensemble N des entiers naturels, toutes les solutions de

l’équation

2x −3y = 0.

2. Déterminer, dans l’ensemble N des entiers naturels, une solution de l’équa-

tion

2x −3y = 3.

En déduire toutes les autres solutions.

EXERCICE 2

Le nombre e désignant la base des logarithmes népériens, a et b deux constantes

réelles, avec a 6= 0, on considère, sur la courbe (C ), d’équation

y = aex +b,

le point M , d’abscisse x.

1. Quelle est l’équation de la tangente en M à la courbe (C) ?

2. Soit K l’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.

Quelle est l’abscisse z du point K ?

3. Calculer la différentielle dz. Comment faut-il choisir b pour que dz = dx ?

EXERCICE 3

1. Construire les quatre courbes représentées en repère orthonormé (Ox, Oy)

par les équations suivantes :

(Γ1) y 2+2x2−8x +6 = 0,

(Γ2) y 2− x2+4x −3 = 0,

(Γ3) y 2− x2−2x −5 = 0,

(Γ4) y 2− x +1 = 0.

On indiquera la nature de chacune de ces quatre courbes et l’on donnera pour

chacune d’elles, lorsqu’il y a lieu, les coordonnées du centre de symétrie et des

sommets, ainsi que les équations des asymptotes.

2. SoitΩ le point d’abscisse 2 et d’ordonnée 0.

On considère le repère orthonormé (ΩX , ΩY ) tel que la direction de l’axeΩX

fasse avec la direction de l’axe Ox un angle de− π

4 se déduisant deΩX par une

rotation de + π

2 , de centreΩ.

Quelle est l’équationde la courbe (Γ2) rapportée au systèmed’axes (ΩX , ΩY ) ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. On considère la courbe (C ) représentée par l’équation X Y = 1

2 dans le sys-

tème d’axes (ΩX , ΩY ). Déterminer l’équation de la tangente à la courbe (C )

au point M0 de (C ) dont l’abscisse, dans le système orthonormé (ΩX , ΩY ) est

égale à un nombre donné X0 6= 0. Soit A et B les points d’intersection de cette tangente avec les axes ΩX et ΩY .

Que peut-on dire des points A, B et M0 ?

4. Soit λ un nombre réel donné, strictement positif.

a. Calculer l’aire S comprise entre la courbe (C ), l’axe ΩX , et les droites

d’équations X = 1 et X =λ.

b. Vers quelle limite tend le rapport S p λ quand λ tend vers l’infini ?

c. On considère le produit P = p λS. On pose

p λ=

1

u .

Montrer que P tend vers zéro lorsque λ tend vers zéro (donc u vers+∞).

Montréal et New York 2 septembre 1968

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