Les entiers relatifs - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction réelle, le repère orthonormé, les deux points doubles.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1971 \

EXERCICE 1

Vérifier que

x4+ x3+ x+1≡ (x−2)4 (mod3),

quel que soit l’entier relatif x. En déduire les entiers relatifs, x, tels que

x4+ x3+ x+1≡ 0 (mod3),

EXERCICE 2

On considère la fonction réelle, f , de la variable réelle x définie par

y = f (x)=

(

1− 1

x

)

e 1 x ,

où e est la hase des logarithmes népériens. Quel est son ensemble de définition ? Trouver les limites de f (x) lorsque x tend vers +∞, lorsque x tend vers −∞, lorsque x tend vers 0. Déterminer le sens de variation de f .

PROBLÈME

Un plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy . Soit

(E) l’ensemble des points du plan non situés sur l’axe x′Ox.

Partie A

Au couple (M1, M2) de deux points M1 (

x1 ; y1 )

et M1 (

x1 ; y1 )

de E on associe le point N

(

x1+ x2 ; y1y2 )

. Démontrer que l’on définit ainsi dans (E) une loi de composition interne, que l’on notera ⋆, et que (E, ⋆) est un groupe commutatif. On désigne par I l’élément neutre de ce groupe.

Partie A

Soit T la transformation ponctuelle qui, à tout point M de (E), fait correspondre son symétrique M ′ pour la loi ⋆.

1. a. Démontrer, sans calcul, que T est une bijection de (E) sur lui-même. Est- ce une involution ?

b. Démontrer que T admet deux points doubles : le point I et un point J, que l’on précisera.

c. Construire M ′ lorsque M est donné. Démontrer que, si la droite MM

coupe les droites (∆) et (∆′) d’équations respectives y = 1 et y = −1 aux points P et P ′, la division (M , M ′, P, P ′) est harmonique.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

2. a. Soit (H) l’hyperbole équilatère passant par I dont une asymptote est l’axe x′Ox, l’autre asymptote étant la droite d’équation x = h, h nombre réel donné.

Écrire l’équation de (H).

Déterminer l’ensemble des points transformés des points de (H) par T .

Soit (Ii ) la tangente en I à (H). Déterminer l’image par T de l’ensemble (Ii )∩ (E).

b. Soit (D) une droite du plan. Déterminer l’image (

D ′1 )

par T de l’ensemble (D1)= (D)∩ (E).

Lorsque (D) coupe les axes en A(a ; 0) et B(0 ; b) distincts de O, démon- trer que la tangente à

(

D ′1 )

, au point N d’intersection de (

D ′1 )

avec y ′Oy , est la polaire de B par rapport aux droites AI et AJ.

3. a. Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1.

Former l’équation de l’image (

C′1 )

par T de

(C1)= (C)∩ (E).

Tracer (

C′1 )

sur le même graphique que (C).

b. Soit M un point de (C1), (D) la tangente en M au cercle (C) et (

D ′1 )

l’image par T de (D1)= (D)∩ (E).

Démontrer que (

C′1 )

et (

D′1 )

ont même tangente au point M ′ transformé deM par T .

Dijon 2 juin 1971

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