Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 10, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 10, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 10 sur l’évènement. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Cas particulier, Cas général, spécialité.
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LaReunionjuilllet97.dvi

[ Baccalauréat S La Réunion juillet 1997 \

Exercice 1 5 points

Une urne contient 8 jetons : trois jetons noirs et carrés, trois jetons noirs et ronds, un jeton vert et carré, un jeton vert et rond. L’épreuve consiste à extraire, au hasard, deux jetons de l’urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d’une pièce truquée :

• si l’on obtient « PILE », on extrait les deux jetons simultanément, • si l’on obtient «FACE», on extrait les deux jetons successivement avec remise.

Lors du lancer de la pièce, la probabilité d’apparition de « PILE » est 7

15 .

On note : P l’évènement « on obtient PILE » ; F l’évènement « on obtient FACE » ; A l’évènement « les deux jetons tirés ont la même forme OU la même couleur » ; E1 l’évènement « obtenir deux jetons de la même couleur » ; E2 l’évènement « obtenir deux jetons de la même forme » ; E3 l’évènement « obtenir deux jetons de la même forme ET de la même couleur ». Les résultats seront donnés sous forme de fractions.

1. On lance la pièce.

a. On suppose que l’on a obtenu « PILE ».

Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements E1, E2 et E3.

En déduire que la probabilité de l’évènement A, sachant que P est réalisé,

est 11

14 .

b. On suppose que l’on a obtenu « FACE ».

Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements E1, E2 et E3.

En déduire que la probabilité de l’évènement A, sachant que F est réalisé,

est 13

16 .

2. Quelle est la probabilité de l’évènement A ?

3. Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, on répète n fois l’épreuve, de manière indépendante.

Déterminer la probabilité pn pour que l’évènement A se réalise à chaque épreuve.

Pour quelles valeurs de n, a-t-on pn > 1

2 ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

À tout point M du plan d’affixe z, différente de zéro, on associe les points M ′ et M ′′

d’affixes respectives z ′ et z ′′ définies par z ′ = iz et z ′′ = z2.

1. Cas particulier

Soit A le point d’affixe a = 2− i et B le point d’affixe b = 2+ i.

On appelle A′ et A′′ les points associés à A,

On appelle B′ et B′′ les points associés à B.

a. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes a′ et a2 des points A′ et A′′. Prouver que A est le milieu du segment [A′A′′].

b. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes b′ et b′′ des points B′ et B′′.

1

c. Calculer, sous forme algébrique, bb′′

bb′ .

d. En déduire la nature du triangle B B′B′′. Représenter sur une figure les points A, A′, A′′, B, B′ et B′′.

2. Cas général

M est un point quelconque d’affixe z différente de zéro.N est le point d’affixe z. N ′ et N ′′ sont les points associés au point N .

On pose z = x+ iy x ∈R et y ∈R.

a. Prouver que, si z 6= 1, l’angle (−−−−→ MM ′ ,

−−−−→ MM ′′

)

a pour mesure un argument

de z−1

i−1 .

b. Déterminer une relation entre x et y pour que z−1

i−1 soit réel.

c. Montrer que les points M , M ′ et M ′′ sont alignés si et seulement si

y =−x+1. (1)

d. On suppose que l’affixe de M est différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée.

Prouver que NN N ′′ est un triangle rectangle en N .

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, OIKJ désigne le carré de côté 1 tel

que + π

2 soit une mesure de

(

−→ OI ,

−→ OJ

)

.

A est un point quelconque de la droite (IJ) différent de I. s désigne la similitude directe de centre O qui trans- forme le point I en le point A. Les images de J, K et A par s sont respectivement no- tées J′, K′ et A′.

I

J

O

K

A +

1. a. Quelle est la nature du quadrilatère OAK′J′ ?

b. Prouver que les points J′, A et A′ sont alignés.

c. Comparer les angles (

−→ OI ,

−−→ OA

)

et (

−−→ OA ,

−−→ OA′

)

.

d. Reproduire le dessin ci-dessus en prenant OI = 5 cm et construire les points J′, K′ et A′. (la construction sera expliquée)

e. Prouver que A′O = A′K′.

2. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ OI ,

−→ OJ

)

,

on note dorénavant a l’affixe du point A et α un argument de a.

a. Prouver que a−1 admet pour argument − π

4 ou

3π

4 .

b. En utilisant la symétrie d’axe (IJ), prouver que (

−→ OI ,

−−→ OA

)

=

(

−−→ KA ,

−→ KI

)

.

En déduire qu’un argument de a− (1+ i) admet pour mesure −απ

2 .

3. a. Prouver que si z ′ désigne l’affixe du point M ′ image du point M d’affixe z par s, z ′ = az.

b. Déterminer k ′ et a′ les affixes respectives des points K′ et A′ en fonction de a.

c. On note z1 et z2 les affixes respectives de −−→ KK′ et de

−−−→ K′A′ .

En utilisant la question 2., prouver que z1 est un réel et que z2 est un ima- ginaire pur.

2

4. Prouver que K′ est le projeté orthogonal de A′ sur la droite (JK).

PROBLÈME

Le plan P est rapporté au repère orthonormalR = (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité graphique est 4 cm. Dans tout le problème I désigne l’intervalle [0 ; +∞[.

Partie A

On appelle f0 et f1 les fonctions définies sur I par f0(x)= ex et f1(x)= xex . C0 et C1 sont les courbes représentatives de f0 et de f1 dans le repère R.

1. Étude de la fonction f .

a. Déterminer la limite de f1 en +∞.

b. Étudier le signe de f ′1 , sur I et dresser le tableau de variation de f1.

2. Vérifier que pour tout x I , f ′1(x)= f0(x)− f1(x) (1)

3. Soit x I . On appelle M0 etM1 les points de C0 et deC1 d’abscisse x. Déter- miner selon les valeurs de x les positions relatives des courbes C0 et C1.

4. Les graphiques

a. Comment peut-on construireC0 à partir de la courbe d’équation y = ex ?

Dessiner C0.

b. Placer les points de C1 d’abscisses 0, 1, 2 en précisant les tangentes à C1 en ces points.

c. Dessiner C1.

Partie B

On se propose de fabriquer, à la suite de f0 et de f1 des fonctions f2, f3, . . . , fn , déri- vables sur I et satisfaisant aux conditions :

(2)

pour tout x élément de I , pour tout n entier naturel non nul, f n(x) = fn−1(x)− fn(x) fn(0) = 0

1. On pose pour tout x de I , gn(x)= fn (x)ex , c’est-à-dire fn(x)= gn(x)e−x .

a. Calculer f n (x) en fonction de gn(x) et de g n(x) pour tout x de I .

b. Montrer que fn satisfait aux conditions (2) si et seulement si

(3)

pour toutx élément de I , pour toutn entier naturel non nul, g n(x) = e

x fn−1(x) gn(0) = 0

2. Calcul de f2. (On rappelle que f1(x)= xe−x .

a. Calculer g ′2(x) puis g2(x) pour x I .

b. En déduire f2(x).

3

c. Montrer par récurrence que pour tout x élément de I , pour tout n entier naturel non nul,

fn (x)= xn

n! e−x .

Partie C

Soit a un élément non nul fixé dans I . Pour tout entier naturel n, on pose In (a) = ∫a

0 fn(x)dx fn est la fonction définie dans la deuxième partie.

1. Calculer I0(a).

2. En utilisant les conditions (2), montrer que pour tout n> 1,

In (a)− In−1(a)=− an

n! e−a .

3. En déduire que pour tout n > 0, In (a)= 1−

(

n

k=0

ak

k!

)

e−a .

4. Dans cette question, on pose a = 1. On appelle (un ) la suite numérique défi- nie pour tout n ∈N par :

un = 1−

(

n

k=0

1

k!

)

e−1 =

1 ∫

0

fn (x)dx.

On note Cn la courbe représentative de fn dans le repère R.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un > 0 et donner une interpréta- tion géométrique de un .

b. Montrer que pour tout entier naturel n, et pour tout x ∈ [0 ; 1],

fn (x)6 1

n! xn .

c. En déduire l’encadrement : pour tout entier naturel n, 06 un 6 1

(n+1)! ,

puis la limite de un .

d. Déduire enfin que : e= lim n→+ ∞

(

n

k=0

1

k!

)

.

4

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