Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 11 sur la nature du quadrilatère OQAK. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point d’affixe c, les points A, B, Q et K dans le plan.
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[ Baccalauréat S Métropole septembre 1997 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :

— s’il a arrêté le n−ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant [le (n+1)- ième] est 0,8 ;

— s’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,6 ;

— la probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7. Dans tout l’exercice, si E est un évènement, on note p(E ) la probabilité de E ,E l’évè- nement contraire de E . On note P (E/F ) la probabilité conditionnelle de l’évènement E sachant que F est réalisé. An est l’évènement « le gardien arrête le n-ième tir ». On a donc P (A1)= 0,7.

1. a. Donner, pour n> 1, les valeurs de P (An+1/An) et P (

An+1/An )

.

b. Exprimer P (An+1∩ An) et P (

An+1∩ An )

en fonction de P (An

c. En déduire que, pour tout entier strictement positif n> 1, on a :

P (An+1)= 0,2P (An)+0,6.

2. On pose à présent, pour n> 1, pn =P (An) et un = pn −0,75.

a. Démontrer que (un ) est une suite géométrique de raison 0,2.

b. En déduire une expression de pn en fonction de n.

c. Montrer que (

pn )

admet une limite que l’on calculera.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique : 2 cm), on considère : — le point A d’affixe a = 5− i

p 3 ;

— le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct, c’est-à-dire (−−→ OA ,

−−→ OB

)

= π

3 .

— le milieu Q de [OB].

1. a. Démontrer que B a pour affixe b = 4+2i p 3. En déduire l’affixe q de Q.

b. Déterminer l’affixe zK du point K tel que ABQK soit un parallélogramme.

c. Démontrer que zK−a

zK est imaginaire pur. Qu’en déduit-on pour le tri-

angle OKA ?

Préciser la nature du quadrilatère OQAK.

d. Placer les points A, B, Q et K dans le plan.

2. Soit C le point d’affixe c = 2a

3 .

a. Calculer zK−b

zK−c . Que peut-on en déduire pour les points B, C et K ?

b. Placer C sur la figure.

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

PROBLÈME Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction f définie sur R par :

f (x)= x2+e2x .

I. Études des variations de f

1. Calculer, pour tout nombre réel x, f ′(x) et f ′′(x).

2. a. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a f ′′(x)> 0.

b. En déduire que l’équation f ′(x)= 0 admet sur R une solution et une seule qu’on note α.

c. Vérifier la double inégalité −0,5<α<−0,4.

3. a. Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de f ′(x) .

b. Calculer lim x→− ∞

f (x) et lim x→+ ∞

f (x).

c. Dresser le tableau de variation de f sur R.

d. Tracer, en se limitant à l’intervalle [

− 2 ; 12 ]

la courbe représentative C de

f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 4 cm).

II. Interprétation géométrique de f

Onnote Γ la courbe représentative, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

introduit dans la partie

I, de la fonction g définie par :

g (x)= ex .

1. a. Exprimer la distanceOM dupointO au pointM deΓ d’abscisse x en fonc- tion de f (x) .

b. Traduire alors les résultats obtenus dans la partie I enunepropriété concer- nant la variation de la distance OM quand M parcourt Γ.

2. Soit A le point deΓ d’abscisseα (α a été introduit dans la partie I ; on rappelle que f ′(α)= 0).

a. Écrire une équation de la tangente T à Γ en A.

b. Quelle relation peut-on écrire entre les cœfficients directeurs des droites (OA) et T ? Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

c. Onnoteβ l’abscisse du point d’intersection de la droiteT avec l’axe (O,~ı).

Calculer en fonction de α et en cm2 l’aire A du domaine limité par la courbe Γ, la tangente T et les droites d’équations x =α et x =β.

Métropole 2 septembre 1997

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