Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 12, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 12, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 12 sur l’équation d’inconnue complexe z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: déduire la nature du triangle OIJ. Préciser la nature du triangle JBO.
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NouvelleCalĕdoniedĕc97.dvi

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ décembre 1997

EXERCICE 1 4 POINTS

Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d’un répondeur. Quand l’artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois. Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d’obtenir le répondeur et une chance sur cinq d’obtenir l’artisan. On note P (E ) la probabilité d’un évènement E et p(E/F ) la probabilité condition- nelle de E sachant F . Un client téléphone à l’artisan. On note :

R l’évènement « le client obtient le répondeur » ;

A l’évènement « l’artisan est présent » ;

A l’évènement contraire de A ;

1. Déterminer la probabilitéP (R), ainsi que les probabilités conditionnelleP (R/A)

et P (

R/A )

.

2. a. Exprimer P (R) en fonction de P (R/A), P (

R/A )

et P (A).

b. En déduire l’égalité 4

5 =−

2

3 P (A)+1 et calculer la probabilité que l’artisan

soit présent.

3. Un client téléphone ; il obtient le répondeur. Déterminer la probabilité que l’artisan soit présent.

EXERCICE 2 5 POINTS

1. On considère l’équation d’inconnue complexe z :

z2+2z p 3+4= 0.

Résoudre cette équation dans l’ensemble C des nombres complexes.

Écrire les solutions sous forme trigonométrique.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

Les points I et J du plan ont pour affixes respectives : zI = − p 3+ i et zJ =

− p 3− i.

a. Tracer le cercle de centre O et de rayon 2, et placer les points I et J sur la figure.

b. Montrer que le point J est l’image du point I par la rotation de centre O et

d’angle π

3 .

c. En déduire la nature du triangle OIJ.

3. Soit B le milieu du segment [OI].

a. Déterminer l’affixe du point B et placer le point B sur la figure.

b. Préciser la nature du triangle JBO.

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

4. Soit A le point du plan défini par l’égalité vectorielle −−→ BA =−

1

2

−→ OJ .

a. Déterminer l’affixe du point A et placer le point A sur la figure.

b. Vérifier que le point A est l’image du point B par la rotation de centre O et

d’angle − π

3 .

c. Montrer que le point A est le barycentre des points J, O, B affectés de co- efficients que l’on déterminera.

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité gra-

phique : 15 cm). Soit t un nombre réel positif. On note M(t) le point de P de coor- données (x(t) ; y(t)) définies par :

x(t) = e− t 2 cos

(

π

2 t )

y(t) = e− t 2 sin

(

π

2 t )

.

Quand t varie dans l’intervalle [0 ; +∞[, le pointM(t) parcourt une courbe paramé- trée notée Γ. On a représenté sur la figure donnée, la partie de Γ correspondant aux valeurs de t appartenant à l’intervalle [0 ; 6]. Le but de l’exercice est d’étudier des propriétés géométriques de certains points de Γ.

1. a. Exprimer en fonction de t , l’affixe z(t) du point M(t).

b. Préciser le module et un argument de z(t).

2. Tracer les points M(0), M(1),M(2), M(3) et M(4) sur la figure donnée en an- nexe.

a. Pour tout nombre réel t > 0, exprimer z(t +1) en fonction de z(t).

En déduire que M(t +1) est l’image de M(t) par la similitude directe de

centre O, de rapport 1 p e et d’ angle

π

2 . On note s cette similitude.

b. Pour tout nombre réel t > 0, exprimer z(t +2) en fonction de z(t).

Justifier que M(t +2) est l’image de M(t) par une homothétie h dont on précisera les éléments caractéristiques.

3. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque ré- ponse.

a. Les points M(2) et h(M(0)) sont confondus.

b. Les points M(1) et M(3) sont symétriques par rapport au point O.

c. Les points M(n), où n est un entier naturel, sont les points d’intersection de Γ avec les axes de coordonnées.

Nouvelle-Calédonie 2 décembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

1

1

O

Γ

PROBLÈME 11 POINTS

On considère les fonctions f et g définies sur R par :

f (x)= 1

1+ex et g (x)=

1

1+e−x

On note C et Γ les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique 4 cm).

A. Étude des fonctions f et g

1. a. Étudier les variations de f sur R.

b. Calculer les limites de f en + ∞ et − ∞. Préciser les éventuelles asymp- totes à C .

c. Prouver que le point Ω de coordonnées

(

0 ; 1

2

)

est centre de symétrie de

C .

d. On note T la tangente àC au pointΩ. Déterminer le coefficient directeur de T .

e. Représenter T et C .

2. a. En observant que, pour tout nombre réel x, on a g (x) = f (−x) , montrer que Γ est l’image de C par une symétrie que l’on déterminera.

b. Vérifier que, pour tout nombre réel x, on a f (x)+g (x)= 1. En déduire que Γ est l’image de C par une autre symétrie que l’on déterminera.

c. Déterminer le cœfficient directeur de la tangente T ′ à Γ au pointΩ.

d. Représenter T ′ et Γ sur la figure de la question 1.

B. Calcul d’une aire

On note I = ∫1

0 f (t)dt et J =

∫1

0 g (t)dt .

1. En utilisant l’égalité de la question A. 2. b., calculer I + J .

2. a. Montrer que, pour tout nombre réel t , 1

1+e−t peut s’écrire sous la forme

et

et +1 .

b. En déduire une primitive G de g sur R, puis la valeur de J .

3. Calculer la valeur de I .

4. a. Prouver que, pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; +∞[,

f (x)6 g (x).

Nouvelle-Calédonie 3 décembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

b. On note ∆ l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient

{

0 6 x6 1, f (x) 6 y 6 g (x)

Onnote A l’aire, exprimée en cm2, du domaine A. Exprimer A en fonction de I et J . Donner une approximation décimale de A à 10−2 près.

C. Étude d’une fonction définie par une intégrale

On considère les fonctions h et H définies sur [0 ; +∞[ par :

h(x)= ex ln (

1+e−x )

et H(x)= ∫x

0 h(t)dt .

1. a. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à [0,+ ∞[ h(x) est strictement positif.

b. En déduire que H est strictement croissante sur [0,+∞[.

2. On note h′ la fonction dérivée de h.

Vérifier que, pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; +∞[

h(x)= h′(x)+ g (x).

En déduireH(x) en fonction de x.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre réel x appartenant à [0,+∞[,

h(x)= ln(1+e−x )

e−x .

En déduire la limite de h en +∞.

b. Déterminer la limite de H en +∞.

Prouver finalement que lim x→+ ∞

[H(x)− x]= 1−2ln2.

Interpréter graphiquement ce dernier résultat.

Nouvelle-Calédonie 4 décembre 1997

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