Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 14, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 14, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 14 sur le barycentre D du système. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les distances CD, BD et AD, Déterminer et construire (F), Calculer la dérivée de ...
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Polynesiejuin1997.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 1997 \

EXERCICE 1 4 points

Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes. Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d’une fraction

irréductible.

Une classe de terminale S d’un lycée compte 30 élèves dont 10 filles.

1. À chaque séance du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves.

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A : « Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons »

B : « Les trois élèves interrogés sont de même sexe »

C : « Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés. »

2. Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles.

On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents.

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

D : « Les deux délégués sont internes »

E : «Un seul de deux délégués est interne ».

3. À la fin de chaque séance le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois.

a. Déterminer la probabilité pn pour que le tableau soit effacé aumoins une fois par une fille à l’issue de n séances.

b. Déterminer le nombre minimal de séances pour que pn > 0,9999.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on

considère les pointsMn d’affixes

zn =

(

1

2 i

)n (

1+ i p 3 )

n est un entier naturel.

1. Exprimer zn+1 en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n.

Donner z0,z1,z2,z3 et z4 sous forme algébrique et sous forme trigonomé- trique.

2. Placer les points M0,M1,M2,M3 etM4 (unité graphique : 4 cm).

3. Déterminer la distance OMn en fonction de n.

4. a. Montrer que l’on a MnMn+1 =

p 5

2n pour tout n entier naturel.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. On pose Ln = k=n

k=0

MkMk+1 (c’est-à-dire Ln = M0M1 +M1M2 + ·· · +

MnMn+1).

Déterminer Ln en fonction de n puis la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Déterminer unemesure de l’angle (−−−→ OM0 ,

−−−−→ OMn

)

en fonction de n.

Pour quelles valeurs de n les points O,M0 et Mn ; sont-ils alignés ?

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

On considère dans un plan (P) un triangle équilatéral ABC de côté a (a est un réel strictement positif).

1. Construire le barycentre D du système {(A ; 2), (B ; −2), (C ; −1)}.

2. a. Déterminer −−→ BA ·

−−→ BC en fonction de a.

b. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le triangle BCD est rectangle en B.

3. Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de a.

4. Pour tout point M du plan, on pose f (M ) = 2MA2 − 2MB2 −MC2 et on désigne par (F) l’ensemble des pointsM du plan tels que f (M )= 0.

a. Vérifier que C appartient à (F).

b. Exprimer f (M ) en fonction de la distance MD et de a.

c. Déterminer et construire (F).

5. Pour tout pointM du plan, on pose g (M )= 2 −−→ MC ·

−−→ DB +a2.

a. Déterminer l’ensemble (G) des pointsM du plan tels que g (M )= a2.

b. Soit I le point d’intersection autre que C des ensembles (F) et (G).

Montrer que le triangle CDI est équilatéral.

PROBLÈME 11 points

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= x−1+ (

x2+2 )

e−x

Onnote (C ) la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique 2 cm).

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur R par :

g (x)= 1− (

x2−2x+2 )

e−x

1. Etudier les limites de g en −∞ et en +∞.

2. Calculer la dérivée de g et déterminer son signe.

3. En déduire le tableau de variation de g .

Polynésie 2 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans R puis justifier que

0,356α6 0,36

5. En déduire le signe de g .

Partie II : Étude de f

1. Etudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Déterminer f ′ (x) pour tout x réel.

3. En déduire, à l’aide de la partie I, les variations de f et donner son tableau de variation.

4. a. Démontrer que : f (α)=α

(

1+2e−α )

b. À l’aide de l’encadrement de α déterminer un encadrement de f (α) d’amplitude 4×10−2.

5. Démontrer que la droite ∆ d’équation y = x − 1 est asymptote à (C ) en +∞. Préciser la position de (C ) par rapport à ∆.

6. Donner une équation de la tangente T à (C ) au point d’abscisse 0.

7. Tracer ∆, T puis (C ) .

8. a. Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction P définie sur R par

P (x)= (

ax2+bx+c )

e−x

soit une primitive sur R de la fonction x 7→ (

x2+2 )

e−x .

b. Calculer en fonction deα l’aire A en cm2 de la partie du plan limitée par (C ), ∆ et les droites d’équations x =−α et x = 0.

c. Justifier que : A = 4e2α+8−16

Partie III : Étude d’une suite

1. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2] :

16 f (x)6 2

2. Démontrer que pour tout x de [1 ; 2] :

06 f ′ (x)6 3

4

3. En utilisant le sens de variation de la fonction h définie sur [1;2] par :

h (x)= f (x)−x

démontrer que l’équation f (x) = x admet une solution unique β dans [1 ; 2] .

Polynésie 3 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Soit (un) la suite numérique définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n,

un+1 = f (un)

a. Démontrer que pour tout entier naturel n,

16un 6 2

b. Démontrer que pour tout entier naturel n,

un+1−β

∣6 3

4

unβ

c. Démontrer que pour tout entier naturel n,

unβ

∣6

(

3

4

)n

d. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

e. Trouver un entier n0 tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n0, on ait :

unβ

∣6 10−2

Polynésie 4 juin 1997

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