Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 15, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
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Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 15, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 15 sur les variables aléatoires. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les valeurs de l’entier naturel n, Indiquer une construction géométrique de M′ co...
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[ Baccalauréat S Pondichéry \ avril 1997

EXERCICE 1 5 points

Uneurne contient 9 boules (4 rouges, 2 bleues et 3 vertes) identiques au toucher.

Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.

1. On tire simultanément deux boules de l’urne et on note leur couleur. Cal- culer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur (on donnera

le résultat sous forme d’une fraction).

2. On tire une boule de l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne ; puis on tire une seconde boule et on note sa couleur. Calculer la probabi-

lité d’obtenir deux boules de même couleur (on donnera le résultat sous

forme d’une fraction).

3. On adopte la règle suivante : soit n un entier naturel non nul ; on gagne 10n francs si les deux boules tirées sont de la même couleur et on perd n2

francs dans le cas contraire.

On désigne par X (respectivement Y) la variable aléatoire qui, à tout tirage

de deux boules de l’urne selon le procédé décrit dans la première question

(respectivement la deuxième question), associe le gain algébrique réalisé

à l’issue du tirage.

Les variables aléatoires X et Y prennent donc les valeurs 10n et n2.

a. Déterminer les espérancesmathématiques E(X) et E(Y) des variables aléatoires X et Y.

b. Déterminer les valeurs de l’entier naturel n telles que

E(X) < 0< E(Y).

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Soit P le plan rapporté au repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

orthonormé direct.

On désigne par P⋆ le plan P privé de l’origine O et on considère l’application f

de P⋆ vers P⋆ qui, à tout pointM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = 4

z .

1. Montrer que f a deux points invariants A et B dont on calculera les affixes (on désignera par A celui dont l’abscisse est positive).

2. a. Exprimer un argument de z ′ en fonction d’un argument de z.

Que peut-on en déduire pour les demi-droites [OM ] et [OM ′] ?

b. Comparer les arguments des nombres z ′+2

z ′−2 et

z+2

z−2 .

En déduire que les points A, B,M et M ′ sont cocycliques ou alignés.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Indiquer une construction géométrique de M ′ connaissant M .

Soit Γ le cercle de centre O et de rayon 4.

3. Montrer que lorsque M décrit le cercle Γ, le pointM ′ décrit un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. SoitQ le milieu de [MM ′].

a. Calculer l’affixe q deQ en fonction de l’affixe z de M .

b. On pose z = x+ iy et q =α+βi où x, y, α et β sont réels.

Exprimer α et β en fonction de x et de y .

c. Montrer que lorsque M parcourt le cercle Γ, le point Q appartient à une conique dont on précisera la nature, l’excentricité, les sommets

et les foyers.

PROBLÈME 5 points

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= 3ex +1

ex +1

On note Γ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

;

unité graphique 2 cm.

Partie A - Étude et représentation graphique de la fonction f

1. a. Montrer que pour tout réel x, f (−x)+ f (x)= 2.

En déduire queΓpossède un centre de symétrie, qu’on désignera par

A et dont on précisera les coordonnées.

b. Déterminer la limite de f en −∞.

Déterminer la limite de f en +∞. (On pourra par exemple utiliser 1.

a. ou poser X = ex .) En déduire que Γ possède deux asymptotes dont

on précisera les équations.

c. Calculer f ′(x) et en déduire le sens de variation de la fonction f

2. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d’abscisse 0.

b. On considère la fonction ϕ définie sur R parϕ(x)= f (x)− (x+1).

Montrer que, pour tout réel x, ϕ′(x)=−

(

ex −1

ex +1

)2

.

En déduire le sens de variation de la fonction ϕ puis son signe (on

précisera ϕ(0)).

c. Déduire de ce qui précède la position de la courbe Γ par rapport à la droite T.

3. Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

la droite T ainsi que la courbe Γ et ses

asymptotes.

Partie B - Calcul d’aire

1. a. Montrer que f (x)= x si et seulement si ϕ(x)=−1.

Pondichéry 2 avril 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. En déduire, en utilisant les résultats de A 2., que la droite D d’équa- tion y = x coupe la courbe Γ en un seul point dont l’abscisse α est

comprise entre 2 et 3.

2. a. Montrer que pour tout réel x, f (x)= 4ex

ex +1 .

En déduire une primitive F de f sur R.

b. Exprimer, en fonction de α, l’aire du domaine limité par la courbe Γ, la droite D et les droites d’équations x = 0 et x =α.

Partie C - Approximation du réel α au moyen d’une suite

Dans cette partie, on désigne par I l’intervalle [2 ; 3].

1. a. Montrer que, pour tout réel x, f ′(x)= 4

(

− 1

ex +1 −

1

(ex +1)2

)

.

b. En déduire que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle I, ∣

f ′(x) ∣

∣6 1

2 .

c. En déduire que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle I,

| f (x)− f (α)|6 1

2 |xα|.

2. On définit la suite (un) d’éléments de l’intervalle I par :

{

u0 = 3

un+1 = f (un) pourn ∈N.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, |unα|6 1

2n |3−α|.

Déterminer un entier naturel p tel que up soit une valeur approchée

de α à 10−3 près. Donner la valeur approchée de up proposée par la

calculatrice.

Pondichéry 3 avril 1997

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