Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 16, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 16, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

PDF (45.9 KB)
3 pages
348Numéro de visites
Description
Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 16 sur l'entier naturel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les suites, leurs limites.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Sportifsdehautniveau97.dvi

[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \ septembre 1997

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère les suites (un ) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :

{

u0 = 0

un+1 = 3un +1

4

et

{

v0 = 2

vn+1 = 3vn +1

4

1. Calculer u1, u2, u3 d’une part et v1, v2, v3 d’autre part.

2. Dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 5 cm), tracer les

droitesD et ∆ d’équations respectives y = 3x+1

4 et y = x.

Utiliser D et ∆ pour construire sur l’axe des abscisses, les points A1, A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3, ainsi que les points B1, B2, B3 d’abscisses respectives v1, v2, v3.

3. On considère la suite (sn ) définie pour tout entier naturel n par sn =un + vn

a. Calculer s0, s1, s2, s3. À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite (sn) ?

b. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que la suite (sn) est une suite constante.

4. On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par dn = vnun .

Montrer que la suite (dn) est une suite géométrique.

Donner l’expression de dn en fonction de n.

5. En utilisant les résultats des questions 3. b. et 4. b., donner l’expression de un et vn en fonction de n.

6. Montrer que les suites (un ) et (vn) convergent. Préciser leurs limites.

EXERCICE 2 4 POINTS

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique :

4 cm). On considère les points A et C d’affixes respectives a et c. On suppose que les points O, A, C ne sont pas alignés.

On note B le point image de A par la rotation de centre O et d’angle − π

2 et D le point

image de C par la rotation de centre O et d’ angle π

2 .

1. Dans cette question, on suppose que a = 3+ 1

4 i et c =

1

2 − i

p 3

2 .

Placer sur une figure les points O, A, B, C, D (on justifiera la construction du point C).

Dans les questions suivantes, on revient au cas général

On suppose que les points B et C sont distincts.

2. Calculer les affixes des vecteurs −−→ AD et

−−→ BC .

Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires.

3. On désigne par I le milieu du segment [AC]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l’on précisera, démontrer que la médiane (OI) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que BD = 2OI.

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

4. La médiane issue de O dans le triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC? Justifier la réponse.

EXERCICE 2 4 POINTS Enseignement de spécialité

Dans le planorienté, on considère quatre points E, F, G,Hnon alignés, tels queEFGH soit un parallélogramme de centre O.

On désigne par A l’image de G par la rotation r de centre O et d’angle − π

2 .

On désigne par B l’image de H par la rotation r ′ de centre O et d’angle π

2 .

On note I le milieu du segment [GH].

1. Placer ces différents éléments sur une figure.

L’objet de cet exercice est de démontrer que la médiane (OI) du triangle OGH est une hauteur du triangle OAB. À cet effet, on propose deux méthodes.

2. Emploi des nombres complexes

On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct d’origine O, tel que l’affixe du point G est égale à 1. On note z l’affixe du point H.

Calculer les affixes des points I, A et B en fonction de z.

Prouver que les points O et I sont distincts ainsi que les points A et B.

Montrer que la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (AB).

3. Emploi de transformations

On désigne par h l’homothétie de centre G et de rapport 2.

a. Déterminer les images par h des points O et I.

b. Déterminer l’image par r ′ du point E.

c. Conclure.

PROBLÈME 11 POINTS

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)= x ln

(

1+ 1

x2

)

si x > 0 et f (0)= 0.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 5 cm). Le but du problème est d’étudier certaines propriétés de la fonction f .

A. Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

g (x)= ln

(

1+ 1

x2

)

− 2

x2+1

1. a. Calculer la dérivée g ′ de g .

Montrer que pour tout x ∈]0 ; +∞[, g ′(x)= 2 (

x2−1 )

x (

x2+1 )2 .

b. Étudier le signe de g ′(x) selon les valeurs de x.

2. Déterminer la limite de g en +∞.

3. Déterminer la limite de g en 0.

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

4. a. Dresser le tableau des variations de g .

b. En déduire qu’il existe un unique nombre réel α> 0 tel que g (α)= 0. Vé- rifier que 0,5<α< 0,6.

5. Déduire des questions précédentes le signe de g (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction g .

B. Étude de la fonction f

1. Montrer que pour tout x ∈]0 ; +∞[, on a f ′(x) = g (x). En déduire les varia- tions de f sur ]0 ; +∞[.

2. a. Calculer la limite quand x tend vers +∞ de x f (x).

(On pourra poser h = 1

x2 ).

b. En déduire que f (x) tend vers 0 quand x tend vers +∞.

3. Étude de f en 0.

a. Déterminer la limite de f en 0. (Onpourra écrire f (x) sous la forme f (x)= x ln(x2+1)−2x ln x et on utilisera le résultat suivant : lim

x→0 x lnx = 0.)

b. Étudier la dérivabilité de f en 0. Préciser la tangente à la courbe C au point 0.

4. Encadrement de f (α).

a. Prouver que, pour tout élément x de [0,5 ; α], 0< f ′(x)< f ′(0,5).

b. En déduire que, pour tout élément x de [0,5 ; α], 0< f (α)− f (0,5)< (α

0,5) f ′(0,5), puis que 0< f (α)− f (0,5)< 1

10 f ′(0,5).

c. En déduire une valeur décimale approchée de f (α) à 10−3 près.

5. Dresser le tableau des variations de f . Donner l’allure de la courbe C .

C. Calcul d’une aire

Soit λ, un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 1].

1. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale = ∫1

λ f (x)dx.

Donner une interprétation géométrique de cette intégrale.

2. Calculer lim λ→0

.

On admet que cette limite est l’aire de la partie du plan constituée des points

dont les coordonnées (x ; y) vérifient :

{

06 x 6 1 06 y 6 f (x)

En déduire la valeur de cette aire exprimée en cm2.

Sportifs de haut-niveau 3 septembre 1997

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome