Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 2, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
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Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 2, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 2 sur les probabilités des évènements. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les probabilités des évènements, Étudier le sens de variation de g .
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[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1997 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Monsieur M est chargé de ventes à domicile pour le bénéfice d’une association. À chaque personne sollicitée, il propose l’achat d’un livre seul, ou d’une cassette seule, ou l’achat d’un livre et d’une cassette. Après un premier bilan de son activité, monsieur M estime que la probabilité qu’une personne visitée choisie au hasard achète un livre (évènement L) est 0,2, la pro- babilité qu’elle achète une cassette (évènement C) est 0,1 et la probabilité qu’elle n’achète rien (évènement R) est 0,75.

Partie A

1. Calculer les probabilités des évènements suivants :

D : « La personne visitée achète un livre ou une cassette ».

E : « La personne visitée achète un livre et une cassette ».

F : « La personne visitée achète seulement un livre ».

G : « La personne visitée achète seulement une cassette ».

2. Sachant que la personne visitée a acheté un livre, quelle est la probabilité qu’elle ait acheté aussi une cassette ?

Partie B

Monsieur M se présente successivement chez n personnes choisies au hasard. Cal- culer la probabilité pn qu’une personne aumoins lui achète un livre ou une cassette. Comment faut-il choisir l’entier naturel n pour avoir pn > 0,9 ?

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on donne un triangle ABC direct dont les angles sont aigus

(c’est-à-dire que chacun des angles (

−→ AB ,

−−→ AC

)

, (

−−→ BC ,

−−→ BA

)

, (

−−→ CA ,

−−→ CB

)

admet uneme-

sure comprise entre 0 et π2 ).

AEB est le triangle équilatéral tel que (

−→ AE ,

−→ AB

)

=

π

3 [2π].

ACF est le triangle équilatéral tel que (

−−→ AC ,

−→ AF

)

=

π

3 [2π].

On présentera les données sur une figure que l’on complétera progressivement.

1. En utilisant la rotation de centre A et d’angle π

3 , démontrer que : CE = BF et

(

−−→ EC ,

−→ BF

)

=

π

3 [2π].

2. Les droites (EC) et (BF) se coupent en un point I.

Démontrer que le cercle (C1) circonscrit au triangle AEB et le cercle (C2) cir- conscrit au triangle ACF passent par le point I.

3. Soit M le milieu de [EC] et N le milieu de [BF].

a. Démontrer que le triangle AMN est équilatéral direct.

b. Démontrer que le cercle (C ) circonscrit au triangle AMN passe aussi par le point I.

PROBLÈME 11 POINTS

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

La partie I est l’étude d’une fonction auxiliaire g nécessaire à l’étude de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x

2 +

1+ lnx

x .

L’étude de la fonction f fait l’objet de la partie II. La partie III est l’étude de deux suites numériques associées.

Partie I

On considère la fonction numérique g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x2−2lnx.

1. Étudier le sens de variation de g .

2. En déduire le signe de g (x) sur ]0 ; +∞[.

Partie II

On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x

2 +

1+ lnx

x .

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ? (unité graphique 2 cm).

1. Déterminer la limite de f en 0.

Interpréter graphiquement le résultat.

2. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x

2 ? est asymptote à la courbe

(C ).

c. Déterminer la position de (C ) par rapport à (∆) sur ]0 ; +∞[.

Montrer, en particulier, que (∆) coupe (C ) en un point A que l’on déter- minera.

3. Étudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f .

4. Montrer qu’il existe un point B, et un seul, de la courbe (C ) où la tangente (T) à (C ) est parallèle à (∆).

Préciser les coordonnées de B.

5. Montrer que l’équation f (x)= 0 a une solution unique α.

Justifier l’encadrement : 0,34<α< 0,35.

6. Tracer la courbe (C ) et les droites (∆) et (T).

Partie III

On considère la suite numérique (xn ) définie par xn = e n−2 2 pour tout nombre entier

naturel n.

1. a. Montrer que (xn ) est une suite géométrique dont on déterminera le pre- mier terme et la raison.

b. Montrer que (xn ) est une suite croissante.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : an = 4 ∫xn+1

xn

[

f (x)− x

2

]

dx.

a. Donner une interprétation géométrique de an .

b. Montrer que an = 2n+1

2 pour tout nombre entier naturel n.

En déduire que (an) est une suite arithmétique.

Amérique du Sud 2 novembre 1997

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