Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 3, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
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Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 3, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 3 sur le repère orthonormal direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer puis tracer l’ensemble D des points M, Donner l’écriture complexe de R.
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[ Baccalauréat S Antilles–Guyane juin 1997 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, l’unité gra-

phique est 1 cm.

On considère les points A, B , C d’affixes respectives :

zA = (3 p 3−2)+ i(3+2

p 3) zB = (−

p 3−1)+ i(

p 3−1) zC = (1−4

p 3)+ i(−4−

p 3)

1. On se propose de placer les points A, B et C dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

à l’aide

du compas. Pour cela on considère la rotation R de centre O et d’angle de

mesure − 2π

3 .

a. Donner l’écriture complexe de R.

b. Vérifier que R transforme le point A en le point A0 d’affixe : 4−6i.

On admettra que R transforme les points B et C en les points B0 et C0 d’affixes respectives 2+2i et −2+8i.

c. Placer les points A0, B0, C0 puis, à l’aide du compas, les points A, B, C. (La construction de A sera justifiée).

2. a. Calculer zA− zB+ zC.

b. Endéduire que le pointO est le barycentre du systèmedepoints pondérés {(A, 1), (B, −1), (C, 1)}.

3. Soit l’ensemble C des points M du plan tels que :

−−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥= ∥

−−→ MA −2

−−→ MB +

−−→ MC

a. Vérifier que B appartient à C .

b. Déterminer puis tracer l’ensemble C .

4. Déterminer puis tracer l’ensemble D des points M du plan tels que :

2 ∥

−−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥= ∥

−−→ MA −3

−−→ MB

EXERCICE 2 4 POINTS

Voici le plan de la salle 308 du lycée Dupont.

a ll é e c e n tr a le

Bureau

R2

R3

R4

R5

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

Le premier jour de l’année scolaire, les élèves de la classe de TS1 sont invités par leur

professeur principal à s’installer au hasard des places disponibles dans cette salle.

La classe de TS1 comporte 28 élèves.

1. a. Quel est le nombre de répartitions possibles des places inoccupées ?

b. Calculer à 10−1 près, les probabilités des évènements suivants :

A : « les huit places du rang R4 sont toutes occupées » ;

B : « il y a autant d’élèves à gauche qu’à droite de l’allée centrale ».

2. Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. Soit X la variable aléatoire « nombre de places inoccupées au rang R4 ».

a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Calculer son espérance mathématique.

PROBLÈME 5 POINTS

Partie I

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln

(

x+1

x

)

− 1

x+1 .

1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f et étudier le sens de variation de f .

2. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0 et lorsque x tend vers +∞.

3. Donner le tableau de variations de la fonction f et en déduire le signe de f (x) pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[.

4. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité gra-

phique est 5 cm. Tracer la courbe C représentative de la fonction f .

Partie II

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x ln

(

x+1

x

)

1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g . Déduire de la partie I le sens de variation de g sur ]0 ; +∞[.

2. Vérifier que g = h k avec h et k les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par :

h(x)= ln(1+ x)

x et k(x)=

1

x .

En déduire la limite de g en +∞ et en 0.

3. Donner le tableau des variations de g sur ]0 ; +∞[.

Partie III

1. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. On note A (λ) l’aire en cm2

du domaine ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient :

16 x 6λ et 06 y 6 f (x).

En utilisant les résultats de la partie II,

a. Calculer A (λ) en fonction de λ.

Antilles–Guyane 2 juin 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

b. Déterminer la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞.

c. Justifier l’affirmation : « L’équation A (λ) = 5 admet une solution unique notée λ0 », puis donner un encadrement de λ0 d’amplitude 10

−2.

2. Soit (un ) la suite numérique définie sur N par :

un =

(

n+1

n

)n

.

Montrer, en remarquant que ln(un )= g (n), que :

a. La suite (un ) est une suite croissante.

b. La suite (un ) est convergente, et préciser sa limite.

Antilles–Guyane 3 juin 1997

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