Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

PDF (42.9 KB)
3 pages
148Numéro de visites
Description
Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4 sur la suite u. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite u arithmétique, la suite u convergente.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AntillesSseptembre1997.dvi

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 1997 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On dispose de 3 urnes U1, U2, U3 contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U1 une boule est marquée G, l’autre est marquée A ; dans U2 une boule est

marquée 3, l’autre est marquée 5 ; dansU3 une boule estmarquée 1

2 , l’autre estmar-

quée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite u de la façon suivante : si la boule tirée dans U1 est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U2 désigne le premier terme u0 et la boule tirée dans U3 désigne la raison.

1. Calculer la probabilité d’avoir :

a. une suite u arithmétique ;

b. une suite u convergente ;

c. une suite u telle que u4 soit un nombre entier pair.

2. Calculer la probabilité d’avoir une suite u qui ne soit pas convergente sa- chant qu’elle est géométrique.

3. Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numé- rique u :

— si u est géométrique, il gagne 5 F ; — si u est arithmétique et u4 6 7, il perd 4 F ; — si u est arithmétique et u4 > 7, il perd 6 F.

Soit X la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur :

— donner la « loi de probabilité » de X ; — calculer l’espérance de X .

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de centre O tel que AB = 6 cm et (−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

2 . On définit les points P, Q, R, S de la façon suivante :

−→ AP =

1

3

−−→ AB ,

−−→ BQ =

1

3

−−→ BC ,

−−→ CR =

1

3

−−→ CD ,

−−→ DS =

1

3

−−→ DA .

Le but de l’exercice est de préciser la nature du quadrilatère PQRS en utilisant deux méthodes différentes.

Placer les points P, Q, R et S sur une figure.

1. Première méthode : utilisant les nombres complexes

On considère le repère orthonormal (

A, −→ u ,

−→ v

)

, les vecteurs unitaires étant

respectivement colinéaires et de même sens que −−→ AB et

−−→ AD , l’unité étant le

cm.

a. Déterminer les affixes a, b, c, d respectives des points A, B, C, D.

Calculer les affixes p, q, r, s respectives des points P, Q, R, S.

b. Calculer les affixes des vecteurs −−→ PQ et

−→ SR , puis le quotient

sp

qp .

c. Interpréter géométriquement ces résultats et en déduire la nature du qua- drilatère PQRS ?

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

2. Deuxième méthode : géométrique

On note f la rotation de centre O et d’angle π

2 .

a. Déterminer les images par f de A et B. Montrer que l’image de P par f est le point Q.

b. Déterminer les images de Q, R et S par f .

c. En utilisant ce qui précède, préciser et justifier la nature du quadrilatère PQRS.

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A : étude d’une fonction numérique

On considère la fonction numérique définie par :

f : R → R x 7−→ f (x)= x+e−x

Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan, l’unité graphique est 1 cm.

1. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Déterminer la limite de f en −∞, [on pourra écrire f (x) sous la forme : f (x)= e−x (xex +1)].

2. Étudier les variations de f .

3. Montrer que la droiteD d’équation y = x est asymptote à C . Étudier la posi- tion de C par rapport àD.

4. TracerD et C dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie B : Étude d’une transformation du plan

Soit l’application r du plan (P ) dans lui-même qui à tout point M d’affixe z fait cor- respondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ =

(

p 2

2 − i

p 2

2

)

z.

1. Calculer le module et l’argument de −

p 2

2 − i

p 2

2 et reconnaître r .

2. On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′ où x, y, x′ et y ′ sont quatre réels. Calculer z en fonction de z ′. En déduire x et y en fonction de x′ et y ′.

3. On suppose que le point M de coordonnées (x ; y) appartient à C , montrer que les coordonnées x′ et y ′ deM ′ image deM par r vérifient la relation :

y ′ =−x′+ p 2ln

(

x p 2 )

.

Partie C : Étude d’une fonction numérique On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)=−x+ p 2ln

(

x p 2 )

.

Soit C ′ sa représentation graphique dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les limites de g en 0 et en +∞.

Antilles–Guyane 2 septembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de g .

3. En utilisant éventuellement les résultats obtenus dans la partie B, tracer la courbe C ′ dans le même repère que la courbe C .

Partie D : Calcul d’aire

1. Calculer ∫

p 2

1 ln

(

x p 2 )

dx en utilisant une intégration par parties.

2. Soit D l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient :

16 x6 p 2 et g (x)6 y 6 f (x).

Calculer en cm2 l’aire du domaine D ; on en donnera une valeur approcheée à 10−2.

Antilles–Guyane 3 septembre 1997

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome