Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 5, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
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Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 5, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 5 sur le plan complexe P muni du repère orthonormal direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, le p...
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[ Baccalauréat S Asie juin 1997 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Une urne contient deux boules blanches et n noires, indiscernables au tou- cher.

Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne et on note A2 l’évène- ment : « le joueur a tiré deux boules blanches ».

Déterminer n pour que la probabilité p (A2) de l’évènement A2 soit égale à 1

15 ?

2. Dans toute la suite du problème on prend n = 4.

A - Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne et on note :

A0 l’évènement : « le joueur a tiré deux boules noires » ;

A1 l’évènement : « le joueur a tiré une boule noire et une blanche » ;

A2 l’évènement : « le joueur a tiré deux boules blanches ».

a. Calculer la probabilité des évènements A0 et A1.

b. Lors de ce tirage, le joueurmarque trois points pour chaqueboule blanche tirée et marque deux points pour chaque boule noire tirée.

Soit X le nombre de points marqués.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

Déterminer E(X ).

B - Après ce premier tirage, le joueur remet les boules noires tirées dans l’urne et laisse les boules blanches tirées de côté, puis effectue un nouveau tirage simultané de deux boules. Soit Bi l’évènement : « on obtient i boule(s) blanche(s) lors du deuxième tirage » (i = 0, 1 ou 2).

a. Donner p (B0/A2) et en déduire p (B0∩ A2).

Calculer de même p (B0∩ A1) et p(B0∩ A0).

En déduire que p (B0)= 41

75 .

b. Montrer de même que p (B2)= 2

75 .

En déduire p (B1).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

On considère le plan complexe P muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Soit le polynôme P tel que, pour tout z de C,

P (z)= z3−4z2+6z−4.

Déterminer les réels u et v tels que P (z) = (z − 2) (

z2+uz+ v )

et résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

2. On note α la solution de l’équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et β le conjugué de α.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives α, β et 2, I le milieu de [AB] et r

la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer l’affixe dupoint r (B) et endéduire la nature duquadrilatèreOACB.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit f l’application de P privé du point C dans P qui au point M d’affixe z (z 6= 2) associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z− (1+ i)

z−2 .

a. Déterminer f (A) et f (B).

Déterminer le point E tel que f (E) = C.

b. Quelles distances représentent les réels |z− (1+ i)| et |z−2| ?

En déduire que si M appartient à la médiatrice de [AC], M ′ appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère C et C ′ deux cercles de centres respectifs O et O′ et de rayons r et 2r tangents extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA′]. Soit M un point quelconque de C , distinct de A et de B, et M ′ le point de C ′ tel que le triangle AMM ′ soit rectangle en A (on prendra pour la figure r = 2 cm)

1. a. Déterminer en justifiant les réponses :

— le rapport de l’homothétie h1 de centre A qui transforme C en C ′ ; — le centre I de l’homothétie h2 distincte de h1 qui transforme C en C ′.

Placer I sur la figure.

b. On note M1 = h1(M)

Montrer que M1 est le point de C ′ diamétralement opposé àM ′.

Déterminer h2(M) et en déduire que la droite (

MM ′ )

passe par un point fixe, lorsque M décrit le cercle C privé des points A et B.

2. La droite (

MM ′ )

recoupe C en N et C ′ en N ′.

Quelle est l’image de N par h2 ?

Montrer que (

−−→ AN ,

−−→ AM

)

=

(−−−→ AN ′ ,

−−−→ AM

)

mod (π) et en déduire que le tri-

angle ANN ′ est rectangle en A.

3. Soit ω milieu de [MM ′]. Montrer que ω appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le rayon (on pourra utiliser le milieu D de [OO′]).

PROBLÈME 10 points

Pour tout entier n strictement positif on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn (x)= (lnx)n

x2 .

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthogonal

(unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses, 10 cm sur l’axe des ordonnées).

Partie A - Étude pour n = 1

1. Déterminer lim x→0

f1(x) et lim x→+∞

f1(x).

Que peut-on en déduire pour C1 ?

2. Étudier le sens de variation de f1 et donner le tableau des variations de f1.

3. Déterminer une équation de la tangente en x0 = 1, à la courbe C1.

Étude pour n = 2

4. Déterminer lim x→0

f2(x) et lim x→+∞

f2(x).

Que peut-on en déduire pour C2 ?

Asie (spécialité) 2 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5. Calculer f ′2(x) et donner le tableau des variations de f2.

Partie B

1. Étudier le signe de f1(x)− f2(x) ; en déduire la position relative de C1 et C2.

2. Tracer C1 et C2.

Partie C

n étant un entier naturel non nul, on pose In = ∫e

1 fn (x)dx.

1. On pose F (x)= 1+ lnx

x .

Calculer F ′(x), en déduire I1.

2. En utilisant une intégration par parties montrer que :

In+1 =− 1

e + (n+1)In .

3. Calculer I2 puis l’aire en cm2 du domaine compris entre les courbesC1 etC2 et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Partie D

1. En utilisant la question 2. de la partie C, montrer par récurrence que, pour tout n entier naturel non nul :

1

n! In = 1−

1

e

(

1+ 1

1! +

1

2! +·· ·+

1

n!

)

2. En utilisant un encadrement de lnx sur [1 ; e], montrer que, pour tout n en- tier naturel non nul :

06 In 6 1.

3. En déduire lim n→+∞

(

1+ 1

1! +

1

2! +·· ·+

1

n!

)

.

Asie (spécialité) 3 juin 1997

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