Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 6, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 6, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 6 sur la limite de p. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la loi de probabilité de X, Calculer l’espérance mathématique de X, Déterminer les images pa...
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CentresetrangersSjuin1997.dvi

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 1997 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n est un entier supérieur ou égal à 1).U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2, puis on tire au hasard une boule deU2 et on la met dansU1 ; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

1. On considère l’évènement A : « après l’épreuve, les urnes se retrouvent cha- cune dans leur configuration de départ ».

a. Montrer que la probabilité p(A) de l’évènement A peut s’écrire :

p(A)= 3

4

(

n+2

n+3

)

.

b. Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers +∞.

2. On considère l’évènement B : « après l’épreuve, l’urneU2 contient une seule boule blanche ».

Vérifier que la probabilité p(B) de l’évènement B peut s’écrire

p(B)= 6

4(n+3) .

3. Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve. À l’issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dansU2.

— SiU2 contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2n francs ; — SiU2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit n francs ; — SiU2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.

a. Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que n ne dé- passe pas 10. ?Dans la suite, on considèren > 10 et on introduit la variable aléatoire X qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l’épreuve, l’urneU2 contient une seule boule blanche, X = 2n?20).

b. Déterminer la loi de probabilité de X .

c. Calculer l’espérance mathématique de X .

d. On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l’espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu’il en est ainsi dès que l’urneU1 contient au moins 25 boules blanches.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, l’unité gra-

phique est 1 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

zA = (

3 p 3−2

)

+ i (

3+2 p 3 )

; zB = (

− p 3−1

)

+ i (p

3−1 )

;

zC = (

1−4 p 3 )

+ i (

−4− p 3 )

.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. On se propose de placer les points A, B et C dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

à l’aide

du compas. Pour cela on considère la rotation R de centre O et d’angle de

mesure − 2π

3 .

a. Donner l’écriture complexe de R.

b. Vérifier que R transforme le point A en le point A′ d’affixe : 4−6i.

On admettra que R transforme les points B et C en les points B′ et C′ d’af- fixes respectives 2+2i et ?2+8i.

c. Placer les points A′, B′, C′ puis, à l’aide du compas, les points A, B, C. (La construction du point A sera justifiée).

2. a. Calculer zA− zB+ zC.

b. Endéduire que le pointO est le barycentre du systèmedepoints pondérés {(A, 1), (B, −1), (C , 1)}.

3. Soit l’ensemble C des points M du plan tels que :

−−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥= ∥

−−→ MA −2

−−→ MB +

−−→ MC

∥ .

a. Vérifier que B appartient àC .

b. Déterminer puis tracer l’ensemble C .

4. Déterminer puis tracer l’ensemble D des points M du plan tels que :

2. ∥

−−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥= ∥

M −→ A −3

−−→ MB

∥ .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on

donne les points A d’affixe 2i, B d’affixe 2 et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm pour unité graphique).

On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : ?

z ′ = 2z

z−2i .

1. a. Montrer que f admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l’affixe.

b. Déterminer les images par f des points B et I.

2. Soit M un point quelconque distinct de A et de O.

Établir que :

(−→ u ;

−−−→ OM

)

= (−−→ MA ;

−−−→ MO

)

+k2π, k ∈Z

OM ′ = 2 MO

MA

3. Soit (∆) la médiatrice de [OA].

Montrer que les transforméspar f des points de (∆) appartiennent à un cercle (C ) que l’on précisera.

4. Soit (Γ) le cercle de diamètre [OA], privé du point A.Montrer que les transfor- més par f des points de (Γ) appartiennent à une droite (D) que l’on précisera.

5. Tracer (∆), (Γ), (C ), (D) sur une même figure.

Centres étrangers 2 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Partie A

Soit la fonction f définie pour tout réel x différent de 1 par : ?

f (x)= e−x

2(1− x)

On appelle Γ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. a. Étudier les limites de f (x) lorsque x tend vers +∞, et lorsque x tend vers 1.

Interpréter graphiquement ces résultats.

b. Vérifier que, pour tout x différent de 1, f (x) peut s’écrire :

f (x)= e−x

x ×

x

2(x−1)

En déduire lim x→−∞

f (x).

2. a. Montrer que f ′(x)= xe−x

2(1− x)2 .

b. Étudier les variations de f .

c. Montrer que f admet unminimum que l’on précisera sur l’intervalle

]−∞ ; 1[.

Partie B

On considère l’équation différentielle (E) :

y ′′+2y ′+ y = 0

y est une fonction numérique deux fois dérivable sur R.

1. Résoudre (E).

2. On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le

point A de coordonnées

(

0 ; 1

2

)

.

a. Montrer que ces solutions s’écrivent sous la forme :

(

ax+ 1

2

)

e−x .

On note alors :

ha (x)=

(

ax+ 1

2

)

e−x .

a est un nombre réel.

b. Faire l’étude du sens de variation de ha selon les valeurs de a et montrer que, pour tout réel a différent de 0, ha admet un extremum pour une valeur de x que l’on déterminera en fonction de a.

c. OnnoteCa la courbe représentative deha et Sa le point deCa correspon- dant à l’extremum de ha ; vérifier que, pour tout réel a différent de 0, Sa est un point de Γ, la courbe définie dans la partie A.

Partie C

Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d’un repère or-

thonormal les courbes Ca pour a = 1

4 et pour quatre autres valeurs de a : −2, 0, 1 et

2.

Centres étrangers 3 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Sur cette feuille annexe, construire Γ et ses droites asymptotes.

2. Pour chacune des courbes Ca tracées (autres que C 1 4 ), déterminer la valeur

correspondante de a en indiquant la méthode utilisée.

Partie D

Dans cette partie, on considère la fonction ha obtenue pour a = 1

4 .

Soit λ un nombre réel supérieur à −2 ; on appelle Dλ l’ensemble des points du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C 1

4 et la droite d’équation x =λ.

1. Exprimer I = ∫λ

−2 h 1

4 (t)dt en fonction deλ ; on pourra utiliser une intégration

par parties ou se servir de l’équation différentielle (E).

2. Soit A (λ) la mesure en unités d’aire de l’aire Dλ ; quelle est la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞ ?

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

a = 14 a = a =

a = a =

Centres étrangers 4 juin 1997

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