Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 8, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
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Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 8, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 8 sur le rapport avec le repère orthonormal direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les points M confondus avec leur image M, les calculs.
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[ Baccalauréat S groupe II 1 juin 1997 \

EXERCICE 1 4 points

Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher.

1. On effectue quatre tirages successifs d’une boule sans remise.

a. Calculer la probabilité de tirer dans l’ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche.

b. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages.

2. On effectue maintenant quatre tirages successifs d’une boule avec remise. Répondre aux mêmes questions qu’à la question 1.

3. n étant un nombre entier strictement positif, on effectue n tirages successifs avec remise. On appelle Pn la probabilité d’obtenir au cours de ces n tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage.

a. Calculer P1, P2, P3 et Pn .

b. Soit Sn = P1+P2+P3+·· ·+Pn . Exprimer Snen fonction de n et déterminer la limite de Sn .

EXERCICE 2 (OBLIGATOIRE) 5 points

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, (unité

graphique 3 cm). On désigne par A le point d’affixe i . À tout point M du plan, distinct de A, d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z

défini par :

z ′ = z2

i− z 1. Déterminer les points M confondus avec leur image M ′.

2. Étant donné un complexe z distinct de i, on pose : z = x + iy et z ′ = x′+ i y ′, avec x, y,x′, y ′ réels.

Montrer que :

x′ = −x

(

x2+ y2−2y )

x2+ (1− y)2

En déduire l’ensemble E des pointsM dont l’imageM ′ est située sur l’axe des imaginaires purs. Dessiner l’ensemble E .

3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM , AM et OM ′. En déduire l’ensemble F des points M du plan tels que M et M ′ soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l’ensemble F .

4. Dans toute cette question, on considère un point M d’affixe z, situé sur le

cercle de centre A et de rayon 1

2 . M ′ est le point d’affixe z ′ correspondant, et

G l’isobarycentre des points A,M et M ′.

Calculer l’affixe zG de G en fonction de z.

Montrer que G est situé sur un cercle un centre O dont on précisera le rayon.

Après avoir comparé les angles (−→ u ,

−−→ OG

)

et (−→ u ,

−−→ AM

)

, effectuer la construc-

tion de G. En déduire celle deM ′.

1. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes, Nantes, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 (SPÉCIALITÉ) 5 points

Le plan complexe P est muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On fera une

figure, à compléter au fur et à mesure des questions. On prendra 1 cm pour unité de longueur. On considère le point J de coordonnées

(

2 p 3 ; 6

)

et le cercle (C ) de diamètre [OJ ]. On note I son centre. Les points A, de coordonnées

(

2 p 3 ; 0

)

, et B, de coordonnées (0 ; 6), sont les projetés

orthogonaux de J, respectivement sur les axes (

O ; −→ u

)

et (

O ; −→ v

)

. On remarquera

que le cercle (C ) est circonscrit au rectangle OAJB.

1. Soit S la similitude directe de centre O transformant B en A.

a. Déterminer l’angle et le rapport de cette similitude.

b. Déterminer les images I′, J′, A′ des points I, J et A par la similitude S.

c. Soit M un point quelconque du cercle (C ), et M ′ son image par la simili- tude S.

Quel est l’ensemble (C ′) décrit par M ′ lorsque M décrit (C ) ?

Représenter (C ′) puis démontrer que, quel que soit le point M du cercle (C ), les points M , A et M? sont alignés.

2. SoitΩ le point de coordonnées (

4+2 p 3 ; 2

)

.

On considère la rotation R de centreΩ et d’angle de mesure − π

2 .

a. Montrer que J est l’image de J′ par R.

b. Pour tout pointM du plan P, on noteM ′ son image par S etM ′′ l’image de M ′ par R. Déterminer l’image de J par la transformation R S (composée de R et de S), puis une mesure de l’angle de vecteurs

(−−→ JM ,

−−−→ JM ′′

)

, où M

est distinct de J .

c. Montrer que JM = JM ′′. En déduire une relation entre les vecteurs −−→JM et −−−→ JM ′′ , et conclure quant à la nature de la transformation R S.

PROBLÈME 11 points

Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité

graphique est 2 cm. Partie I : Étude d’une fonction g .

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x lnxx+1

et C sa représentation graphique dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Etudier les limites de g en 0 et +∞. 2. Etudier les variations de g . En déduire le signe de g (x) en fonction de x.

3. OnnoteC ′ la représentation graphique de la fonction x 7→ lnx dans le repère (

O;~ı,~)

. Montrer que C et C ′ ont deux points communs d’abscisses respec- tives 1 et e et que, pour tout x élément de [1,e] , on a :

x lnxx+16 lnx

On ne demande pas de représenter C et C ′.

4. a. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale :

J = ∫e

1 (x−1) lnxdx

Métropole groupe II 2 juin 1997

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit ∆ le domaine plan défini par :

∆= {

M (

x, y )

;16 x6 e et g (x)6 y 6 lnx }

Déterminer, en cm2, l’aire de ∆. Donner une valeur décimale approchée à 10−2 près de cette aire.

Partie II : Étude d’une fonction f .

Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par :

f (x)= 1

x−1 lnx

1. Etudier les limites de f en+∞ et en 1. Pour l’étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux d’accroissement.

2. Déterminer le tableau de variation de f . On pourra remarquer que f ′ (x) s’écrit facilement en fonction de g (x) .

3. Tracer la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie III : Étude de l’équation f (x)= 12 .

1. Montrer que l’équation f (x)= 12 admet une unique solution notée α et que

3,5<α< 3,6

2. Soit h la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par :

h (x)= lnx+ 1

2 x+

1

2

a. Montrer que α est solution de l’équation h (x)= x. b. Etudier le sens de variation de h.

c. On pose I = [3,4] . Montrer que pour tout x élément de I on a h (x) ∈ I et

h′ (x) ∣

∣6 5

6

3. On définit la suite (un) par :

u0 = 3 et pour tout n> 0 un+1 = h (un )

Justifier successivement les trois propriétés suivantes :

a. Pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6 5

6 |un α|

b. Pour tout entier naturel n,

|un α|6 (

5

6

)n

c. La suite (un ) converge vers α.

4. Donner un entier naturel p, tel que des majorations précédentes on puisse déduire que up est une valeur approchée de α à 10−3 près. Indiquer une va- leur décimale approchée à 10−3 près de α.

Métropole groupe II 3 juin 1997

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