Les nombres complexes - travaux pratiques de sciences mathématiques 12, Exercices de Mathématiques Appliqués

Les nombres complexes - travaux pratiques de sciences mathématiques 12, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 12 sur les nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cercle fixe, le module du produit, l’équation différentielle, Les constantes a et b.
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[ Baccalauréat C (oral) Rouen juin 1968 \

Exercice 1

On considère les nombres complexes

z = cos2ϕ+ i sin2ϕ

z ′ = cos2ϕ′+ isin2ϕ′,

ϕ et ϕ′ sont tels que

O <ϕ<π et 0<ϕ′ <π.

Calculer le module et l’argument du nombre complexe

w = 1− z

1− z ′ .

Exercice 2

Étant donné un cercle fixe (Γ) et une droite fixe (D) tangente à ce cercle, déterminer l’ensemble des centres des cercles (C) tangents à (D) et orthogonaux au cercle (Γ).

Les questions posées à un même candidat sont comprises entre deux traits.

Exercice 1

Soit z le nombre complexe de module 1 et d’argument θ (mod. 2π). Déterminer le module du produit

(z +1)(z − i).

Exercice 2

On donne deux cercles, (C) et (C′), de même rayon, R, tangents entre eux. Déterminer le centre d’un cercle de rayon 2R orthogonal au cercle (C) et coupant le cercle (C′) en deux points qui soient, sur (C′), diamétralement opposés.

Exercice 1

On considère l’équation différentielle suivante :

(1) y ′′+ y = 2cosx.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer qu’il est possible de déterminer les constantes a et b de telle façon que la fonction

y = ax sin (bx)

soit solution de l’équation (1).

2. Les constantes a et b ayant les valeurs déterminées au 1, on pose

y = ax sin(bx)+ z.

Former l’équation à laquelle satisfont z et z ′′.

En déduire la solution générale de l’équation (1).

Exercice 2

On considère l’ellipse (E) ayant pour équation, par rapport à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy , :r2 y2

x2

a2 +

y2

b2 = 1.

Démontrer que, M(x ; y) étant un point quelconque de cette ellipse et T et T′ étant les points où la tangente en M coupe les tangentes aux sommets, B et B′, de son petit axe, on a la relation

BT×BT′ = a2.

Rouen 2 juin 1968

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