Les racines complexes - travaux pratiques de sciences mathématiques 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

Les racines complexes - travaux pratiques de sciences mathématiques 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 3 sur les racines complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application, le repère orthonormé d’axes, les transformations ponctuelles.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry \ septembre 1968

EXERCICE 1

Sachant que l’équation ;

x4−3x3−12x2+48x −64 = 0,

admet deux racines réelles opposées et deux racines complexes, déterminer ces quatre racines.

EXERCICE 2

On considère l’application qui, au nombre réel x, fait correspondre le nombre réel

f (x)= √

x(x −3)2.

Étudier la fonction f ; construire son graphe dans un repère orthonormé. Quelle particularité présente ce graphe au point d’abscisse 3 ?

EXERCICE 3

On considère, dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy , la transformation ponctuelle (T ) qui, à tout point M , de coordonnées (x ; y), distinct de l’origine, associe le point M

(

x′ ; y ′ )

tel que 

x′ = 8x

4x2+ y2 ,

y ′ = 8y

4x2+ y2 .

1. a. Déterminer l’ensemble des points doubles de (T ). On trouve une courbe (C ), que l’on construira.

b. Calculer l’expression 4x′2 + y ′2. En déduire les expressions de x et y en fonctionde x′ et y ′. Quepeut-on en conclure pour la transformation (T ) ?

2. On étudie les transformés de certains ensembles du plan par (T ) :

a. Quel est le transformé d’une droite issue de l’origine ?

b. Quel est le transformé d’une droite d’équation x = x0 ?

On appellera (C1) la courbe obtenue. Quelle est sa nature ? Déterminer ses éléments remarquables. Montrer que son excentricité est constante lorsque x0 varie.

c. Quel est le transformé d’une droite d’équation y = y0 ? On appellera (C2) la courbe obtenue.Quelle est sa nature ?Déterminer ses éléments remar- quables. Montrer que son excentricité est constante quand y0 varie.

3. On considère maintenant les transformations ponctuelles suivantes :

A : affinité orthogonale d’axe x′Ox et de rapport 1

2 ;

A ′ : affinité orthogonale d’axe x′Ox et de rapport 2 ;

J : inversion de pôle O et de puissance 2.

(On rappelle que le produit de la transformation S suivie de la transformation S ′ est noté S ′ ◦S.)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. On effectue d’abord A , puis J , puis A ′. La transformation produit T1 est donc telle que T1 =A ′ ◦JI ◦A .

Effectuer T1 ◦T1. Quelle propriété de T1 en déduit-on ?

b. Le point M(x ; y) est transformé par T1 en M ′ (

x′ ; y ′ )

.

Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y . Montrer ainsi que T1 est identique à la transformation (T ).

c. Retrouver géométriquement les résultats des parties 1 et 2. En particu- lier, préciser pourquoi les coniques obtenues au 2, b et au 2, e ont même excentricité.

Démontrer, en outre, que le transformé d’une droite quelconque duplan ne passant pas par l’origine est une conique ayant encore l’excentricité déjà trouvée.

Pondichéry 2 septembre 1968

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