Les valeurs de l’entier relatif - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les valeurs de l’entier relatif. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: résolution de l’équation, l’expression.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I 1 juin 1971 \

EXERCICE 1

1. Déterminer toutes les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles n2−9

n−5n+4 est

un entier relatif (positif, négatif ou nul).

2. Quelle est la plus petite valeur, p, positive et entière telle que, quel que soit le réel x supérieur ou égal à p, on ait

x2−9 x2−5x +4

< 2 ?

EXERCICE 2

1. n désignant un entier naturel, résoudre l’équation

(E ) un = (−1)n ,

dans le corps C des complexes.

On distinguera deux cas, suivant la parité de n et l’on déterminera le module et l’argument de chacune des racines de l’équation.

2. Dans le cas où n est pair, on désigne par uk l’une quelconque des racines de l’équation (E ).

La relation z ′ = uk z établit une application Tk de C dans C. Démontrer que l’ensemble de ces applications, muni de l’opération composition des applica- tions, a une structure de groupe commutatif.

PROBLÈME

On se propose de chercher comment il faut choisir les nombres réels a,b et c pour que l’expression

ax2+b p 2x +c

x2+1 soit, en valeur absolue, inférieure ou égale à 1, quelle que soit la valeur du nombre réel x,

(C )

ax2+b p 2x +c

x2+1

6 1

1. Démontrer qu’il est nécessaire pour que la condition (C ) soit réalisée que l’on ait

|a|6 1 et |c|6 1.

2. a. On suppose que l’on a a = 1 ; quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes à imposer à b et à c ?

Même question lorsque l’on a a =−1.

1. Centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique Noire.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

b. On suppose maintenant que l’on a

−1< a <+1 (inégalités strictes);

démontrer qu’il est nécessaire que l’on ait

b2+2a2 6 2.

3. a. En supposant b2+2a2 = 2 et−1< a < 1, démontrer que, par rapport à un repère cartésien orthonormé d’axes Ox, Oy et Oz, le point P de coordon- nées (a ; b ; c) décrit un cercle (Γ), dont on donnera l’équation du plan, les coordonnées du centre et la valeur du rayon.

b. Application numérique :

a = cosϕ, b = p 2sinϕ, 0<ϕ<π.

Construire la courbe représentative, en repère orthonormé, de la fonc- tion f , de la variable réelle x, définie par

f (x)= y = (

x2−1 )

cosϕ+2x sinϕ x2+1

.

Préciser les coordonnées des points de cette courbe où la tangente est parallèle à l’axe xx.

4. On suppose enfin que l’on a

−1< a < 1 et b2+2a2 < 2 (inégalités strictes).

On appelle toujours P le point de coordonnées (a ; b ; c) dans un repère car- tésien orthonormé et, bien sûr, on cherche à satisfaire la condition (C ).

Démontrer que le point P appartient soit à la surface soit à l’intérieur du cône ( ∑

) de révolution dont le sommet est A(1 ; 0 ; 1), l’axe AO, le demi-angle au

sommet π

4 et qu’il appartient aussi soit à la surface, soit à l’intérieur du cône

( ∑′) symétrique de (

) par rapport à O.

Étranger groupe I 2 juin 1971

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