Les variations de la fonction - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative en repère orthonormé, le module et l’argument de chacun des nombres complexes.
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[ Baccalauréat C Cambodge et Laos juin 1971 \

EXERCICE 1

Étudier les variations de la fonction f qui à tout réel x fait correspondre

(x)= (1−2x)ex .

Tracer sa courbe représentative en repère orthonormé. On précisera notamment les branches infinies. Quand x tend vers −∞ on pourra poser x =−X . (La lettre e désigne la base des logarithmes népériens.)

EXERCICE 1

Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes

z1 = 1− i et z2 =−1+ i p 3.

Mettre le nombre Z = z1

z2 sous la forme a + ib (a et b étant des réels).

En déduire le sinus et le cosinus de 7π

12 .

PROBLÈME

Soit dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy la transfor- mationponctuelleT qui, à tout point M , de coordonnées (x ; y) distinct de l’origine, associe le point M ′(x′ ; y ′) tel que , t ’

x′ = 8x

4x2+ y2 et y ′ =

8y

4x2+ y2 .

1. a. Donner les expressions de x et de y en fonction de x′ et de y ′.

b. Que peut-on en conclure pour la transformation T ? .

c. Déterminer et construire l’ensemble des points doubles de T .

2. Déterminer les transformés par T a. d’une droite passant par l’origine (mais privée de ce point),

b. d’une droite parallèle à x′Ox, d’équation y = y0 ; préciser les éléments remarquables de cette dernière transformée.

3. Trouver l’équation de la transformée par T de la courbe (C ) d’équation

4x2+ y2−16x +4y +λ = 0.

Montrer qu’il existe une, et une seule, valeur deλ,λ0 , pour laquelle cette courbe est invariante dans la transformation. Construire (C ) en donnant à λ la valeur λ0 ?

4. Soit M(x ; y) un point du plan, distinct de O, et M ′(x′ ; y ′) son transformé

par T . L’affinité orthogonale, A , d’axe x′Ox et de rapport 1

2 transforme M en

N (X ; Y ) ; l’inversion J depôleOet depuissance 2 transforme N en N ′ (

X ′ ; Y ′ )

.

a. Déterminer les expressions de X ′ et Y ′ en fonction de x et de y .

b. Quelle est la transformation qui fait passer de N ′ à M ′ ?

c. Montrer que T est ainsi identique à un produit de trois transformations simples.

d. Retrouver, par l’écriture des produits de transformations, la propriété demandée au b. de la question 1.

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