Les variations de la fonction - exercices de sciences mathématiques 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

Les variations de la fonction - exercices de sciences mathématiques 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de sciences mathématiques 7 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation graphique, les tables.
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[ Baccalauréat C Groupe 1 1 juin 1968 \

SÉRIE C

Exercice 1 Étudier les variations de la fonction f telle que

f (x)= Log (

ex +2e−x )

.

Le symbole Log désigne le logarithme népérien et e la base de ce système de loga- rithmes. Tracer la représentation graphique, (Γ), de f ; démontrer que (Γ) possède un axe de symétrie.

Exercice 2

L’arc x étant évalué en radians, résoudre l’équation :

sin x

3 +2cos

x

3 +1,5= 0,

avec l’approximation permise par les tables. (Le candidat indiquera la nature de la table dont il aura fait usage.)

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé dont les axes sont Ox, Oy . Soit la droite ∆ (y = h), qui coupe Oy au point H. Un cercle C tangent en O à Oy rencontre (Γ) en deux points, E et E′. Soit (ω) le cercle de diamètre EE′, de centreω, dans le plan xOy . A.

1. Trouver l’équation du cercle (ω) ; on désignera par À l’abscisse deω.

2. La perpendiculaire en ω au plan xOy rencontre la sphère (Ω) de grand cercle (ω) en deux points, dont on demande le lieu géométrique :

a. quand λ varie seul ;

b. quand λ et h varient simultanément.

B.

1. SoitG etG′ les points du cercle (ω) situés sur le diamètre parallèle àOy . Lorsque λ varie, démontrer que G et G′ décrivent une hyperbole, dont la position dé- pend de h, soit Kh .

Trouver, quand h varie, le lieu des sommets et le lieu des foyers des hyperboles Kh ; quelle propriété possède l’ensemble des hyperboles Kh ?

2. On donne un point M (

x0 ; y0 )

de Kh ; trouver, en fonction de x0 et y0, le coef- ficient directeur de la tangente enM à Kh .

Trouver le point T où cette tangente rencontre Oy ; démontrer que, si N est la projection orthogonale deM sur Oy ,

HT ·HN=−h2

Interpréter géométriquement ce résultat. Quelles sont les tangentes à Kh me- nées par O ?

1. Le Groupe 1 comprend les pays suivants : Algérie, Iles Comores, Cameroun sud, Italie, Turquie. Côte française des Somalis, Égypte, Éthiopie, Syrie, Liban, Grèce, Tunisie, Espagne et Portugal.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

C.

1. Où faut-il placer le point P(α ; β) dans le plan pour qu’il passe par ce point au moins une hyperbole Kh ? Discuter.

2. Onplace P de façon qu’il passe en ce point deux courbes Kh distinctes ; évaluer l’angle aigu θ sous lequel se coupent ces deux courbes ; démontrer que θ ne

dépend que du rapport µ= β

α et étudier les variations de θ avec µ ; quel est le

plus grand angle sous lequel peuvent se couper deux courbes Khh ?

D.

Trouver les coordonnées des points communs aux deux courbes Kh et Kh′ . Tracer sur la même figure les courbes K1 (pour h = 1) et K2 (pour h′ = 2). La première bissectrice (y = x) rencontre respectivement K1 et K2 aux points S1 et S2 ; les arcs de K1 et de K2 passant respectivement par S1 et S2 se rencontrent au point Q ; évaluer l’aire limitée par le segment S1S2 et les arcs QS1 et QS2 de K1 et K2. [On prendra pour nouveaux axes (OX,OY) les axes déduits des anciens (Ox, Oy) par

une rotation de π

4 autour du point O.

2 juin 1968

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