Les variations de la fonction - travaux pratiques de sciences mathématiques 7, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 7 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le graphique, la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe.
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[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie février 1968 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

Exercice 1

Étudier les variations de la fonction

y = cos2 2x −2sin2x +2.

Construire le graphique de cette fonction par rapport à un système d’axes ortho- normé, x′Ox, y ′Oy .

Exercice 2

Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

Z = z2+ z +1

z4−1 .

pour la valeur z = 2+3i.

Exercice 3

Le plan est rapporté à un système d’axes orthonormé, x′Ox et y ′Oy . On considère le point fixe A, de coordonnées (x = a, y = 0) et l’on note TA la transformation définie comme suit : M étant un point quelconque du plan, de coordonnées (x ; y), on lui fait corres- pondre, lorsque cela est possible, le point M′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

, tel que M′

soit le conjugué harmonique de M par rapport aux points A et A′, A′ étant le point d’intersection de la droite (AM) avec l’axe y ′Oy (on suppose a 6= 0).

1. Déterminer les coordonnées du point A′ en fonction de x, y et a.

Montrer que les cordonées du point M′ sont données par les formules :

x′ = ax

2x a et y ′ =

ay

a −2x .

Calculer les coordonnées de M en fonction de x′, y ′ et a ;comparer avec les formules précédentes ; pouvait-on prévoir le resultat ?

Determmer les points doubles de la transformation TA.

2. M décrivant la droite (D) d’équation

ux + v y +w = 0,

former l’équation du lieu, (D′), des points M′ correspondants ; que peut-on dire, en général, de l’intersection de (D) et (D′) ?

Effectuer une étudepurement géométrique et signaler les cas particuliers pou- vant se présenter.

3. Mdécrivant le cercle dediamètreOA, former l’équationdu lieu, (H), des points M′ correspondants ; préciser la nature géométrique de la courbe (H).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. M′ étant le transformé d’un point M dans la transformation TA précédem- ment définie, soit B un point fixe de l’axe x′Ox d’abscisse b (on suppose b 6= 0 et b 6= a). On désigne par P le conjugué harmonique de M′ par rapport aux points B et B′, B′ étant le point d’intersection de la droite BM′ avec l’axe y ′Oy ; P est donc le transformé de M′ dans la transformation notée TB.

Calculer les coordonnées (X ; Y ) du point P en fonction de celles (x ; y) du point M.

En déduire que les points M et P sont alignés avec l’origine, O.

Retrouver géométriquement ce résultat.

Soit ∑

la transformation qui, au point M, associe le point P. Exprimer la trans- formation

en fonction des transformations TA et TB.

Soit P′ le symétrique du point P par rapport à l’axe y ′Oy . Montrer qu’il existe un point G de l’axe x′Ox tel que la transformation qui, au point M, associe le point P′ soit précisément la transformation notée TC, définie à partir du point C comme le sont TA et TB à partir des points A et B respectivement.

L’ensemble des transformations TA obtenues en prenant pour point A toute position distincte de O sur l’axe x′Ox possède-t-il une structure de groupe pour la loi produit des transformations ?

Nouvelle-Calédonie 2 février 1968

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