MarGéométrie - exercices 10, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 10 sur le domaine de définition. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des combinaisons linéaires, le paramètre réel.
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[ Baccalauréat C Maroc juin 1972 \

EXERCICE 1

1. Montrer que, pour 06 y 6 π

2 , la fonction y 7−→ sin y admet une fonction réci-

proque, notée ϕ.

Déterminer le domaine de définition de ϕ.

2. Démontrer que ϕ est dérivable pour 0< x < 1 et admet pour dérivée en x

ϕ′(x)= 1

p 1− x2

.

La fonction ϕ est-elle dérivable pour x = 0 et pour x = 1 ? 3. Préciser le domaine de définition de la fonction x 7−→ ϕ

(

cos2 x )

et calculer sa dérivée lorsqu’elle existe.

EXERCICE 2

Soit M2 l’ensemble des matrices d’ordre 2 à coefficients réels. Soit les matrices suivantes :

I= (

1 0 0 1

)

J= (

0 1 0 0

)

On note M ′ l’ensemble des combinaisons linéaires αI+βJ, (α : β) ∈R2.

1. Démontrer que M ′ est un sous-espace vectoriel de M2, dont on déterminera une base.

2. Calculer Jn .

Si A =αI+βJ, calculer An . 3. On considère la suite

(

xn , yn )

de R2 d’éfinie par

(

x0 ; y0 )

= (1 ; 1) et (

xn yn

)

= A (

xn−1 yn−1

)

.

a. Calculer xn et yn en fonction de n.

b. Démontrer que, pour |α| < 1, lim n→+∞

xn = 0 et lim n→+∞

yn = 0.

PROBLÈME

Soit ga la fonction de R dans R définie par

ga(x)= p a+ x, a étant un paramètre réel.

1. a. Étudier cette fonction.

b. Ondésigne par (Ca ) la courbe d’équation y = ga(x) dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit (

C a )

la transforméede (Ca ) dans la symétrie orthogonale d’axe (

O, −→ ı

)

.

Déterminer la nature géométrique de (Γa)= (Ca )∪ (

C a )

. Construire (Γa).

Montrer que (

Γa1

)

se déduit de (

Γa2

)

par une translation, que l’on carac- térisera.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. a. Déterminer les primitives de ga ·

b. Déterminer la valeur du paramètre a, tel que

∫3

a

p a+ x dx = 18.

c. Dans le cas où a prend la valeur calculée précédemment, déterminer les coordonnées du point d’intersection de (Ca) et de la droite d’équation y = x.

3. On considère la suite (Un)n∈N définie par

{

U0 = 0 Un+1 =

p 6+Un .

a. CalculerU1,U2 etU3.

b. Montrer que cette suite est strictement croissante et majorée par 3.

c. Montrer que, pour n ∈N, on a

3−Un+1 6 3−Un

3 .

En déduire que 3−Un+1 6 1

3n .

Démontrer que la suiteUn possède une limite , que l’on déterminera.

Maroc 2 juin 1972

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