Math - exercice 1, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la multiplication externe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble R des nombres réels, l’addition et la multiplication matricielles.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice septembre 1975 \

EXERCICE 1

On considère dans C l’équation :

z3+ (5−7i)z2− (4+12i)z −20+4i= 0.

1. Montrer que cette équation admet une racine réelle z1.

2. En déduire le calcul des deux autres racines z2 et z3.

EXERCICE 2

p et n désignent des entiers naturels. On pose :

Ip, n =

∫1

0 xp (1− x)n dx.

1. Calculer Ip, 0 et Ip, 1.

2. Calculer I0, n et en déduire I1, n .

3. Etablir pour n > 1 la relation :

Ip, n = n

p +1 Ip+1, n+1.

N. B. : Par convention, x0 = (1− x)0 = 1.

PROBLÉÈME

Si N =

(

a d

b c

)

est une matrice 2-2 à coefficients réels et λ est un nombre réel, on

définit le produit λN de N par λ à l’aide de la formule :

λN =

(

λa λd

λb λc

)

On pourra admettre que l’ensemble des matrices 2-2 à coefficients réels muni de

l’additiondesmatrices et de lamultiplication externedéfinie ci-dessus est un espace

vectoriel sur R.

Onnote E l’ensemble desmatrice M de la forme M =

(

a b

b c

)

a,b,c appartiennent

à l’ensemble R des nombres réels.

On pose : e1 =

(

1 0

0 0

)

, e2 =

(

0 1

1 0

)

, e3 =

(

, 0 0

0 1

)

.

Partie A

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices 2-2 à coefficients réels et que (e1, e2, e3, ) est une base de E.

2. E muni de l’addition et de la multiplication matricielles est-il un anneau ?

Partie B

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit t l’application de E dans R qui à la matrice M =

(

a b

b c

)

fait correspondre le

nombre réel t(M)= a +c.

1. Montrer que t est une forme linéaire sur E, c’est-à-dire une application li- néaire de E dans R.

2. Déterminer le noyau F de t . Montrer que (e1−e3, e2) est une base de F .

Partie C

On définit l’application ϕ de E2 dans R par ϕ (M , M1)= t (M1 · M), c’est-à-dire que

ϕ (M , M1) est l’image par t du produit matriciel de M1 et M .

1. En posant M =

(

a b

b c

)

et M1 =

(

a1 b1 b1 c1

)

, calculer ϕ (M · r M1) en fonction de

a, b, c, a1, b1, c1. En déduire que ϕ est un produit scalaire. Dans toute la suite

du problème, l’espace E sera muni de ce produit scalaire.

2. Démontrer que I = e1+e3 est orthogonal à tout « vecteur » de F .

Partie D

1. Démontrer que pour tout M appartenant à E, on a :

M2 = t(M) · M − (detM) · I

où det M désigne le déterminant de la matrice M .

2. Si M1 est un élément quelconque de F , montrer que M21 et M1 sont des vec- teurs orthogonaux dans l’espace euclidien (E, ϕ), et que M31 et M1 sont coli-

néaires.

Que peut-on dire de Mn1 et M1, n étant un entier naturel supérieur ou égal à

un ?

Discuter.

Partie E

1. M étant un élément quelconque de E, déterminer la «projection orthogonale » M1 de M sur F . Calculer la somme de M1 en fonction du déterminant de M1.

2. On pose M = M1+λI (λ∈R). Déterminer λ en fonction de a et c.

3. Calculer M2, M3, . . . , Mn en fonction de λ, I et des puissances de M1.

Nice 2 septembre 1975

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