Math - exercice 10, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur les valeurs de l’entier naturel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées, continuité, dérivabilité, sens de variation, représentation. repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Reims \

EXERCICE 1

1. Déterminer, selon les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne par 9 de 4n .

2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre

N = 229n+2−313n−1 est divisible par 9.

EXERCICE 2

On désigne par P un plan affine rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Soit la transformation qui, à un point M de P, de coordonnées (x ; y), fait corres- pondre le point M1 dont les coordonnées

(

x1 ; y1 )

sont données par :

(

x1 y1

)

=

(

1 α α 1

)(

x

y

)

α est un paramètre réel.

1. Trouver les valeurs de α pour lesquelles n’est pas bijectif et déterminer, pour chacune de ces valeurs, l’image de ainsi que l’ensemble des points M pour lesquels (M)=O.

2. M étant fixé, distinct de O, déterminer l’ensemble E des points M1 transfor- més deM par lorsque le paramètre α décrit R.

Comment faut-il choisir M pour que E contienne le point O.

PROBLÈME

Partie A

Soit f la fonction d’une variable réelle, à valeurs réelles, définie par

f (x) = 1

Log x pour x strictement positif et distinct de1

f (0) = 0

1. Étudier f : continuité, dérivabilité, sens de variation, représentation dans un repère orthonormé. (On précisera la demi-tangente à l’origine O du repère, en

étudiant la limite de f (x)

x lorsque x tend vers 0 par valeurs positives). x

2. On pose,

pour 06 x < 1 F (x)= ∫x

1 2

f (t)dt

et, pour x > 1 G(x)= ∫x

2 f (t)dt

Que vaut F ′(x) ? Que vautG ′(x) ?

(On ne cherchera pas à calculer des expressions de F (x) et deG(x) ).

Dire pourquoi on n’a pas le droite d’écrire F ′(x)=G ′(x).

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

On pose, pour x strictement positif et distinct de 1 :

H(x)= ∫x2

x f (t)dt

f étant la fonction définie dans A.

1. a. Montrer que H(x) est toujours positif ou nul.

b. Montrer que H(x) s’exprime, suivant les cas, à l’aide de la fonction F ou à l’aide de la fonctionG.

En déduire l’expression de H ′(x) pour 0< x < 1, puis pour x > 1

c. Soit ϕ une fonction numérique définie et continue sur [0 ; 1[.

Établir que ∫x2

x ϕ(t)dt tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs posi-

tives. (On pourra désigner parΦ une primitive de ϕ).

En déduire la limite de H(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.

2. On pose, pour x strictement positif et distinct de 1 :

K (x)= ∫x2

x

1

tLog t dt .

a. Calculer la dérivée de la fonction qui, à x strictement positif et distinct de 1, fait correspondre Log |Log x|.

En déduire que K (x), qu’on calculera, garde une valeur constante, qu’on précisera,quand x varie dans ]0 ; 1[ et dans ]1 ; +∞[.

b. On pose pour x strictement positif et distinct de 1 :

ϕ1(x)= x−1

xLog x

Montrer queϕ1(x) tend vers une limite , qu’on précisera, lorsque x tend vers 1. (On pourra poser x = 1+X ).

Soit alors ϕ1 la fonction définie par

{

ϕ1(x) = ϕ1 pour x strictement positif et distinct de1. ϕ1(1) =

En s’inspirant de B 1. c. , montrer que 2

x2

x ϕ1(t)dt tend vers0quand x tend vers1.

c. Montrer que H(x)−K (x) tend vers 0 lorsque x tend vers 1.

En déduire qu’on peut définir à partir deH une fonction à valeurs réelles H , définie et continue sur [0 ; +∞[, coïncidant avec H sur ]0 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.

3. a. Montrer que, quel que soit x > 0, x 6= 1,

x2− x

2Log x 6H(x)6

x2− x

Log x

b. En déduire la limite de H(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.

c. En déduire également les limites de H(x) et de H (x)

x lorsque x tend vers

+∞.

Reims 2 juin 1975

Terminale C A. P. M. E. P.

d. Rassemblant les résultats des trois questions de B, étudier les variations de H et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

(On précisera la demi-tangente à l’origine O du repère ; par ailleurs, en admettant que la dérivée de H existe au point x = 1, et que

H ′ (1)= lim

x→1 H

′ (x), on précisera la tangente au point d’abscisse 1).

Reims 3 juin 1975

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