Math - exercice 3, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur le logarithme népérien de x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les racines complexes de l’équation, l’ensemble des endomorphismes.
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[ Baccalauréat C juin 1975 Orléans–Tours \

EXERCICE 1

Soit la fonction f : x 7−→ Log x

x où Log x désigne le logarithme népérien de x.

1. Étudier les variations de f et construire sa représentation graphique (C ) dans

un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. En déduire, suivant les valeurs du nombre réel a, le nombre de solutions de l’équation :

eax = x

3. Calculer l’aire comprise entre l’axe (

O, −→ ı

)

la courbe (C ) et les droites d’équa-

tions respectives x = 2, x = 3.

Donner de cette aire une valeur approchée, en utilisant une table de loga- rithme.

EXERCICE 2

On désigne par α et α′ les racines complexes de l’équation :

z2−2z+2= 0

1. Calculer le module et l’argument de α et α′ (on prendra α= a+bi, avec b > 0)

2. n désignant un entier naturel, on considère, dans le plan complexe, les points Mn (d’affixe αn ) etM ′ (d’affixe αn ).

Construire ces points pour 0 6 α 6 4. Montrer que l’ensemble E′ des points M′n se déduit de l’ensemble E des points Mn par une application simple, Quel est l’ensemble E ∩ E′ ?

Soit k un entier positif donné ; comment peut-on par une transformation du plan, obtenir M

n+k à partir deMn ?

PROBLÈME

Soit E un espace vectoriel, sur le corps R des réels, de dimension 3, rapporté à la

baseB = (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

. À tout triplet (a, b, c) de nombres réels, on associe l’endomor-

phisme de E (ou application linéaire de E dans E ), noté ϕa, b, c défini par

ϕa, b, c

(

−→ ı

)

= −→ ı

ϕa, b, c

(

−→

)

= a −→ ı +

−→

ϕa, b, c

(

−→ k

)

= b −→ ı +c

−→ +

−→ k

1. Soit −→ u = x

−→ ı + y

−→ + z

−→ k un élément de E ;

soit −→ u′ = x

−→ ı + y

−→ + z

−→ k =ϕa, b, c

(

−→ u

)

Calculer x′, y ′, z ′ en fonction de x, y, z.

Soit F l’ensemble des endomorphismes ϕa, b, c lorsque (a, b, c) décrit R 3 ;

montrer que F est, pour la composition des applications, un sous-groupe du groupe linéaire de E (ou groupe des automorphismes de E ),

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit f une application de R dans R. On considère, pour tout a ∈R l’endomor- phisme ϕa, f (a), a .

a. Montrer que l’application h : a 7−→ϕa, f (a), a est injective.

b. Trouver une conditionque vérifie f sih est unhomomorphismedugroupe additif R dans le groupe F . Montrer que cette condition entraîne f (0)= 0.

c. On suppose, de plus, f dérivable. Démontrer, en utilisant la condition précédente et la définition de la dérivée, que l’on a alors :

x ∈R, f ′(x)= x+ f ′(0).

d. Déduire de ce qui précède toutes les fonctions f dérivables telles que h soit un homomorphisme du groupe additif R dans F .

3. On prend f (x)= 1

2 x2 ; on désigne par Ga l’endomorphisme tel que :

Ga

(

−→ ı

)

= −→ ı , Ga

(

−→

)

= a −→ ı +

−→ , Ga

(

−→ k

)

= 1

2 a2

−→ ı +a

−→ +

−→ k .

Montrer que lesGa (a ∈R) forment un sous-groupedeF isomorphe au groupe additif R.

4. E désigne un espace affine associé à E , rapporté au repère (O, B) ; les axes

sont désignés par (

O, −→ ı

)

, (

O, −→

)

, (

O, −→ k

)

.

Ga est l’application affine associée à ga qui laisse O invariant.

On considère dans E la relation binaire R définie par :

MRM ′ ⇐⇒ il existe un a ∈R tel que M ′ =Ga(M).

a. Montrer que R est une relation d’équivalence.

b. Montrer que toute classe d’équivalence définie par R est incluse dans

un plan parallèle au plan (

O, −→ ı ,

−→

)

.

c. Soit le point A(1 ; 1 ; 1) ; la classe d’équivalence de A est une courbe du

plan (

A, −→ ı ,

−→

)

.

Définir cette courbe par une équation cartésienne, en prenant un repère

dont l’origine est le point ω(0 ; 0 ; 1) et les axes (

ω, −→ ı

)

et (

ω, −→

)

.

Donner la nature de cette courbe et ses éléments géométriques,

d. Déterminer la classe d’équivalence d’un point donné du plan (0, i, j).

Orléans–Tours 2 juin 1975

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