Math - exercice 5, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la fonction numérique définie sur R. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les solutions du système, la probabilité.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Paris \

EXERCICE 1

1. Soit F la fonction numérique définie sur R par

F (x)= ∫1+x2

1 Log t dt .

(le symbole Log désignant le logarithme népérien).

Calculer la dérivée F ′(x) de F au point x, en considérant F comme la fonc- tion composée de la fonction g : x 7−→ 1+ x2 et de la fonction h : X 7−→ ∫X

1 Log t dt (X > 0).

2. Calculer, en intégrant par parties, l’intégrale ∫X

1 Log t dt .

Exprimer alors F (x) sans utiliser le signe d’intégration, et retrouver l’expres- sion de F ′(x).

EXERCICE 2

Dans le plan affine P rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, on donne les points A et B

définis par −−→ OA =

−→ ı ,

−−→ OB =

−→ .

Tout pointM du plan P a deux coordonnées, notées x et y , dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Comment choisir le point M pour que les points A, B, M , affectés respective- ment des coefficients x, y, xy , admettent un barycentre ?

Dessiner l’ensemble H des points M qui ne conviennent pas.

2. Trouver et dessiner l’ensemble K des points M pour lesquels le point O est le barycentre des points A, B,M affectés respectivement des coefficients x, y, xy .

PROBLÈME

Partie A

On donne un entier naturel a, supérieur ou égal à 1.

1. Trouver l’ensemble J des solutions du système suivant d’inéquations, où l’in- connue est le nombre réel x :

x > 0 −x3a +2xa −1

1− x3a < 0

(on pourra d’abord poser xa = X ).

2. Calcul numérique (on pourra utiliser une table de logarithmes) :

Trouver la plus petite valeur de l’entier a pour laquelle le nombre 49

51 appar-

tient à J .

Partie B

Terminale C A. P. M. E. P.

On considère l’ensemble S , de toutes les suites réelles u, applications deN dans R, n 7−→ un . La somme u+u′ de deux suites u et u′ de S est la suite n 7−→ un +un . Le produit γu d’une suite u par un réel γ est la suite n 7−→ γun . La suite 0 est la suite n 7−→ 0 (réel nul). L’ensemble S , muni de cette addition et de cette multiplication par un réel, est un espace vectoriel sur R.

1. Soit p un nombre réel donné, appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.

On désigne par E l’ensemble des suites u de S qui satisfont à la relation de récurrence :

(1) ∀n ∈N, pun+2−un+1+ (1−p)un = 0.

a. Montrer qu’une telle suite est définie par la donnée de ses deux premiers termes u0 et u1 et par la relation (1).

b. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de S .

c. Soit v et w les deux suites de E définies par v0 = 1, v1 = 0 et par w0 = 0, w1 = 1.

– Montrer que {v, w} est un système libre. – Montrer que, si u est une suite quelconque de E , u est égale à la

suite u0v +u1w . – Que peut-on dire alors de {v, w} ? Quelle est la dimension de E ?

2. a. Vérifier que si p = 1

2 les suites de E sont des suites arithmétiques.

On suppose p 6= 1

2 . Montrer que la suite n 7−→ tn (t réel non nul) appar-

tient à E si et seulement si t est tel que pt2− t +1−p = 0.

Vérifier que l’on obtient ainsi deux suites formant une base de E . Écrire alors une expression générale du terme un d’une suite u quelconque de E , en désignant par λ et µ les coordonnées de u dans cette base.

b. Soitα un entier donné, supérieur ou égal à 1. On désignemaintenant par u une suite de E telle que u0 = 1 et = 0.

– On prend p = 1

2 , exprimer alors un en fonction de α et de n.

– On suppose p 6= 1

2 et on pose x =

1−p

p ; exprimer un en fonction

de x, α et n.

Partie C

Un jeu oppose deux joueurs A et A′, auxquels on attribue respectivement, au début du jeu, un « avoir » de a jetons et un « avoir » de 2a jetons (a entier donné, supérieur ou égal à 1). La rencontre comporte des parties successives et indépendantes, numérotées 1, 2, 3, . . . La probabilité pour que le joueur A gagne une partie est supposée indépendante du rang de cette partie, et égale à p (0 < p < 1). Après chaque partie le joueur perdant donne un jeton au gagnant. Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur est « ruiné », c’est-à-dire ne dispose plus de jetons, et le joueur « ruiné » perd le match.

1. a. k désignant un entier naturel, on considère la variable aléatoire Xk égale à l’avoir du joueur A après la partie de rang k (si k 6= 0) et avant la partie de rang k+1 (si celle-ci a lieu). On a ainsi X0 = a et 06Xk 6 3a.

Quelles sont les valeurs « possibles » de X1 ? de X2 ? de X2k ? de X2k+1 ?

Paris 2 juin 1975

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Si Xk = 0 le joueur A est ruiné ; si Xk = 3 a le joueur A ′ est ruiné ; dans

chacun de ces cas lematch ne se poursuit pas au delà de la k-ièmepartie.

Si Xk est différent de 0 et de 3a l’on admet 1 que la probabilité de ruine

ultérieure du joueur A ne dépend pas de k mais seulement de la valeur n de Xk ?

On désigne par rn la probabilité de ruine de A, connaissant n. On a ainsi r0 = 1 et r3a = 0.

En considérant les deux valeurs que peut prendre Xk+1 sachant que Xk = n, montrer 2 que rn = (1−p)rn−1+prn+1 et constater que la suite n 7−→ r n

vérifie la relation de récurrence (1) du B.

Exprimer alors, à l’aide de B. 2. b., le terme rn en fonction de n et de a

(lorsque p = 1

2 ) ou en fonction de n,a et de x =

1−p

p

(

lorsque p 6= 1

2

)

.

c. On désigne par r m la probabilité de ruine du joueur A ′, connaissant son

avoirm.

Montrer qu’on obtient r m en remplaçant, dans l’expression de rn , n par

m et p par 1− p

(

c’est-à-direx par 1

x

)

. Écrire cette expression x de r m (

pourp = 1

2 et pourp 6=

1

2

)

.

Vérifier la relation ra + r ′2a = 1 (2).

2. En notant que ra et r ′2a sont les probabilités de ruine de A et de A ′ au début

du match, on voit que le jeu est favorable au joueur A si ra < r ′2a , c’est-à-dire, d’après la relation (2) précédente, si 2ra < 1.

Que vaut ra lorsque p = 1

2 ?

On prend p 6= 1

2 . Exprimer la différence Da = 2ra −1 en fonction de x et de a.

Pour quelles valeurs de x a-t-on Da < 0 ? (cf. le A 1.).

p étant fixé, supérieur à 1

2 , comment choisir a pour que le jeu soit favorable

au joueur A ?

Application numérique : p = 0,51 ; utiliser le A 2. pour donner la plus petite valeur convenable de l’entier a.

1. Le candidat ne cherchera pas à définir l’espace de probabilité relatif à ce jeu, et se bornera à faire le raisonnement qui lui est suggéré.

2. Le candidat pourra admettre ce résultat

Paris 3 juin 1975

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