Math - exercice 6, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur l’égalité. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le produit, l'application linéaire.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris septembre 1975 \

EXERCICE 1

On désigne par n un entier naturel non nul, par n! le produit des n premiers entiers naturels non nuls, et par an le produit 1 · 3 · 5 · . . . · (2n−1) des n premiers entiers naturels impairs. Démontrer l’égalité

an n! · 2 n = (2n)!

En déduire que le produit (n+1)(n+2) . . . (2n−1)2n est divisible par 2n et que, pour tout entier naturel p tel que ce produit soit divisible par 2p , on a p 6n.

EXERCICE 2

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

d’axes Ox, Oy .

On considère l’application f du plan P dans lui-même qui associe à un point m de P d’affixe z = x + iy le point M dont l’affixe Z est égale à z2. Exprimer en fonction des coordonnées x, y de m les coordonnées X , Y de M .

Trouver et dessiner l’image f (d) de la droite d’équation x = 3

2 ; préciser les éléments

caractéristiques de la courbe f (d) permettant d’en donner une définition géomé- trique simple,. Montrer qu’il existe une autre droite, notée d ′, telle que f

(

d ′ )

= f (d).

PROBLÈME

On considère un espace vectoriel E sur R, et l’on désigne par i l’application iden- tique de E dans lui-même, et par θ l’application nulle, dans laquelle tout vecteur de

E a pour image le vecteur nul, noté −→ 0 , de E .

On rappelle que, si ϕ et ϕ′ sont deux applications linéaires de E dans lui-même,

ϕ+ϕ′ est l’application linéaire dans laquelle tout vecteur −→ x de E a pour image le

vecteur ϕ (x)+ϕ′ (x), et que si λ est un nombre réel, λ.ϕ est l’application linéaire

dans laquelle −→ x a pour image λ.ϕ (x).

On convient de noter ϕ2 l’application composée ϕϕ, ϕ3 l’application ϕϕ2, et de façon générale ϕn l’application ϕϕn−1 (n entier supérieur à 1).

1. On désigne par j une application linéaire de E dans E , distincte de θ et telle que j 2 = θ (on admettra l’existence de telles applications, qui sera prouvée au 4. pour un espace vectoriel E de dimension 3).

À tout couple (a ; b) de nombres réels on associe l’application linéaire ai +b j , notée f , de E dans E . Soit F l’ensemble de ces applications f .

a. Montrer que F , muni de l’addition des applications et de la multiplica- tion par un nombre réel, est un espace vectoriel sur R, dont (i , j ) est une base.

b. Quelle est l’application linéaire composée de ai +b j et de ai +bj ?

Déduire du résultat que F , muni de l’addition et de la composition des applications, est un anneau commutatif. Quels sont ses « diviseurs de zéro » ?

2. Soit f une application donnée de F , de coordonnées a, b dans la base (i , j ), et soit n un nombre entier supérieur à 1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Déterminer les coordonnées de f n dans la base (i , j ).

b. À quelle condition f admet-elle dans F une application réciproque ? (On la notera f −1).

On pose alors f 0 = i et f n = (

f −1 )n .

Préciser les coordonnées de f n dans la base (i , j ). Vérifier que, pour tout entier relatif m,

f m = ap mi +mbam−1 j .

3. On appelle Π un plan affine, rapporté à un repère R d’axes Ox, Oy , et l’on considère l’application p de Z dans Π par laquelle l’entier relatif m a pour image le point p(m) deΠ dont les coordonnées dans le repère R sont

{

xm = a m et

ym = mba m−1.

On se propose d’étudier cette application lorsque a est donné, différent de 0, et b = aLog |a| (le symbole Log désignant le logarithme népérien).

a. Montrer que tous les points p(m) appartiennent à la courbeΓdeΠd’équa- tion y = xLog |x|. (On pourra étudier successivement les cas a > 0 et a < 0).

b. Etudier la fonction numérique h définie sur R− {0} par h(x) = xLog |x|, et tracer la courbe Γ, en supposant le repère orthonormé et en prenant pour unité de longueur 5 cm.

c. Comparer les demi-droites∆m et∆−m d’origine O contenant respective- ment les points p(m) et p(−m).

Rechercher si xm et ym admettent des limites lorsque m tend vers +∞, ou vers −∞.

Marquer surΓ les points p(m) correspondant aux valeurs−3,−2,−1,0,1,2,3 de l’entier m, en prenant successivement :

a = 5

4 [on notera alorsPm les points p(m)],

a = 4

5 [on notera alorsP m les points p(m)]

a = − 5

4 [on notera alorsQm les points p(m)]

4. On suppose dans cette question que l’espace vectoriel E est de dimension 3.

a. Soit (

−→ u ,

−→ v ,

−→ w

)

une base de E , et soit g l’application linéaire de E dans

E définie par :

g (u) = 2 −→ u +

−→ v

−→ w ,

g (v) = −2 −→ u

−→ v +

−→ w ,

g (w) = 2 −→ u +

−→ v

−→ w .

Calculer g2 (u) ,g 2 (v) ,g 2 (w), et préciser ce qu’est l’application g 2.

b. On désigne (comme au 1.) par j une application linéaire de E dans E , distincte de l’application nulle θ, et telle que j 2 = θ. On note N le noyau de j .

Montrer successivement que :

– E est différent de E , – N est différent de θ,

Paris 2 septembre 1975

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

– E n’est pas une droite vectorielle de E ; (on pourra, à cet effet, par- tir de l’hypothèse que N est une droite vectorielle D, prendre une

base (

−→ α ,

−→ β ,

−→ γ )

de E avec −→ γ D, étudier alors le noyau de j et

aboutir à une contradiction).

Conclure, en prenant un vecteur −→ U de E n’appartenant pas à N , qu’il

existe une base (

−→ U ,

−→ V ,

−→ W

)

de E telle que j soit définie par

j (

−→ U

)

= −→ V , j

(

−→ V

)

= θ, j (

−→ W

)

= θ.

Paris 3 septembre 1975

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