Math - exercice 7, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la loi de composition interne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les logarithmes népériens, la probabilité de l’évènement.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Poitiers \

EXERCICE 1

On définit sur R la loi de composition interne suivante, notée ⋆ :

R×R → R

(a ; b) 7−→ a b = Log (

ea +eb )

(e est la base des logarithmes népériens et Log x désigne le logarithme népérien du réel x > 0).

1. Cette loi est-elle associative ?

Résoudre l’équation : x ⋆ (x x)= 0

2. Mon trer qu’il existe un nombre réel x solution de l’équation a = b x si et seulement si a > b. Lorsqu’elle existe, la solution est-elle unique ?

3. Vérifier l’égalité suivante :

a + (b c)= (a +b)⋆ (a +c)

quels que soient les réels a, b, c.

L’addition des réels est-elle distributive par rapport à la loi ⋆ ?

EXERCICE 2

D’une urne contenant n boules blanches et n boules noires, un joueur tire successi- vement 6 boules en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. S’il tire une boule blanche, il marque 2 points, dans le cas contraire il perd 3 points. Soit S la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus par le joueur en une partie.

1. a. Dresser le tableau définissant la loi de probabilité de la variable aléatoire S.

b. Calculer l’espérance mathématique de S, soit E(S), ainsi que la variance de S, soit V(S).

2. a. A l’aide de ce tableau, calculer la probabilité de l’évènement

|S−E(S)|> 9

b. En déduire la probabilité de l’évènement

|S−E(S)| < 9

N. B. - À tout tirage, il y a équiprobabilité de tirer chacune des boules de l’urne.

PROBLÈME

À toute fonction numérique f , définie et continue sur R, on associe la fonction ϕ par :

x ∈R, ϕ(x)= ∫x+1

x f (t)dt .

On désigne par Im f (resp. Im ϕ) l’ensemble des réels ayant un antécédent par f (resp . ϕ).

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie A

1. a. Montrer que :

x ∈R, ∃y ∈ [x ; x +1], ϕ(x)= f (y).

b. En déduire que : Im ϕ⊂ Im f .

c. Montrer que si f est bornée, ϕ est bornée.

2. On définit une nouvelle fonction numérique F par

x ∈R, F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

a. Exprimer ϕ à l’aide de F . En déduire que ϕ est dérivable et que

ϕ ′(x)= f (x +1)− f (x).

b. Montrer que, si f est monotone, ϕ est monotone.

c. Montrer que, si f est périodique de période 1, ϕ est constante.

Partie B

On se propose d’étudier les fonction f et ϕ dans des cas particuliers.

1. On donne f par :

x ∈R, f (x)= x2+2x +1

x2+1 .

a. Représenter graphiquement f et montrer que la courbe obtenue admet un centre de symétrie.

b. Montrer qu’il existe deux réels fixes, A et B , tels que

f (x)= A+ B x

x2+1

En déduire ϕ(x).

c. Calculer ϕ(x −1)+ϕ(x) ; pouvait-on prévoir ce résultat ?

d. Étudier et représenter graphiquement la fonction ϕ.

2. Si a est un réel fixé,on donne f (x)= sinax.

a. Calculer ϕ(x).

b. Que peut-on dire de ϕ si a = 2, avec k ∈Z ?

N. B. - Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment ; les numéros 1. et 2. du B sont indépendants l’un de l’autre.

Poitiers 2 juin 1975

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