Math - exercice 8, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la fonction de la variable réelle x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La fonction vectorielle f, la relation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1975 \

EXERCICE 1

Déterminer, pour p = 1, 2, 3, 4, les restes de la division de 5p par 13. En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1+184n−1 est divisible par 13.

EXERCICE 2

Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :

f (x)= (x+1)e−|x|.

1. Étudier cette fonction ; est-elle dérivable en 0 ?

Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé ; pré- ciser l’allure de la courbeC au voisinage du point d’abscisse 0.

2. Déterminer une primitive de la restriction de f à l’intervalle [0 ; +∞[.

Déterminer une primitive de la restriction de f à l’intervalle ]−∞ ; 0].

3. Définir la primitive de f qui s’annule en x = 0.

4. Calculer l’aireA (λ) du domaine compris entre la courbeC , l’axe des abscisses xx et les droites d’équation x =−1 et x =λ, λ étant un réel positif.

L’aire A (λ) admet-elle une limite finie lorsque λ tend vers +∞ ?

PROBLÈME

Onconsidère unplan affine euclidienEorienté debase orthonorméedirecte (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

La fonction vectorielle f de R dans E est définie par f (t)= x(t) −→ ı + y(t)

−→ avec

x(t) = 1

2t cos

π

2 t

y(t) = 1

2t sin

π

2 t

1. Cette fonction est-elle définie sur R ?

Préciser les limites, si elles existent, de x(t) et de y(t) quand t →+∞ et quand t →−∞.

2. Dans toute la suite du problème, on se restreint à t ∈ R+et on considère le

mouvement d’un point M(t) défini par −−−−−→ OM(t) = f (t).

a. Représenter M(0), M(1), M(2), M(3).

b. Quelle est la vitesse du point M(t) à l’instant 0 ? Préciser la tangente à la trajectoire en M(0).

c. Quelle est la norme du vecteur-vitesse ? Décrire le mouvement de M .

3. Démontrer que les intersections de la trajectoire avec les axes correspondent aux images M(n) des nombres complexes définis pour tout n ∈N par :

z(n)= x(n)+ iy(n);

préciser le module et l’argument de z(n).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B

On considère, dans E, les images M(n) des nombres complexes définis pour tout n ∈N par :

z(n)= 1

2n

(

cos

2 + isin

2

)

.

1. Déduire de la relation entre z(n) et z(n+1), qu’il existe une similitude s telle que :

n ∈N, M(n+1)= s(M(n));

(on montrera que s est la similitude de centre O, de rapport 1

2 et de mesure

d’angle π2 ).

2. Nature de h = s s. Montrer que ∀p ∈ N, M(2(p + 1)) = s s(M(2p)) ; que peut-on dire des points M(2p) ?

3. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la trajectoire de M(t) et de la droitequi passe par l’origine et admet −→ v = cosα

−→ ı + sinα

−→ pour vecteur directeur.

b. Soit deux points d’intersection M (

t ′ )

et M (

t ′′ )

de la droite et de la trajectoire deM(t), correspondant respectivement à deux valeurs consé- cutives t ′ et t ′′ (t ′ < t ′′) de t .

Montrer que :M (

t ′′ )

= h (

M(t ′) )

.

c. En déduire que la trajectoire de M(t) est globalement invariante par h ; l’est-elle aussi par s ?

Poitiers 2 septembre 1975

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