Math - travaux pratiques 1 , Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Math - travaux pratiques 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de l’ensemble des complexes C, le plan affine associé au plan vectoriel.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lille juin 1976 \

EXERCICE 1

On considère l’application de l’ensemble des complexes C dans lui-même qui, à z, associe

f (z)= iz3+ (2i−1)z2− (i+4)z+3(2i−1)

1. Dans le cas où z est un réel, écrire f (z) sous la forme α+ iβ α et β sont des réels exprimés en fonction de z.

En déduire que l’équation f (z)= 0 admet une racine réelle z0 que l’on calcu- lera.

2. Démontrer que f (z) peut s’écrire

f (z)= (zz0) (

Az2+Bz+C )

et résoudre, dans C, l’équation f (z)= 0.

EXERCICE 2

Soit ϕ la fonction numérique à variable réelle définie par

{

ϕ(x) = e −

1 x2 pour x 6= 0

ϕ(0) = 0

1. Démontrer que la fonction ϕ est continue sur R.

2. Démontrer que la fonction ϕ est dérivable sur R.

3. Étudier les variations deϕ et construire la courbe représentative deϕ dans un

plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

4. Démontrer queϕ est intégrable sur [0 ; x], x étant un réel quelconque. (On ne demande pas de calculer l’intégrale de ϕ sur [0 ; x].

PROBLÈME :

On rappelle que l’ensemble M2 des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel sur R. Soit M ′2 l’ensemble des matrices carrées de la forme

a+b

2

ab

2 ab

2

a+b

2

 où (a ; b) ∈R2.

et P le plan affine associé au plan vectoriel P . On munit P de la base orthonormée

directe B = (

−→ ı ,

−→ ı )

, et P du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

1. Démontrer que M ′2 est un sous-espace vectoriel de M2.

2. SoitU =

(

1 1 1 1

)

et V =

(

1 −1 −1 1

)

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Démontrer que (U , V ) est une base de M ′2.

b. CalculerU 2, V 2,U ·V , V ·U .

3. Démontrer que la multiplication des matrices est une loi interne de M ′2.

Partie B

Soit fa, b l’application de P dans P définie par les formules

x′ = a+b

2 x+

ab

2 y

y ′ = ab

2 x+

a+b

2 y

x et y désignent les coordonnées d’un point M et x′, y ′ celles de M ′ = fa, b(M), a et b sont deux nombres réels. 2 Soit F la famille des applications fa, b ,quand (a ; b) parcourt R2.

1. Démontrer que la composée de deux applications de F est une application de F ; calculer c et d lorsque fc , d = fa, b fa′ , b′ .

2. Pour quelles valeurs de a et b, fa, b a-t-elle une réciproque ? Vérifier que celle- ci appartient alors à F .

3. n étant un entier strictement positif, calculer les nombres αn et βn définis par

fαn , βn = fαn−1 , βn−1 ◦ fa, b

et la donnée de α0 et β0.

4. Déterminer l’ensemble des points M du plan, tels que les points O, M et M

soient alignés.

5. Engénéral, fa, b transformeunedroite enunedroite.Dans quels cas sont-elles parallèles ?

Partie C

On pose gb = f1, b . Le point M0 de coordonnées

(

x0, ; y0 )

a pour image par gb ,M1 = gb (M0) et on pose plus généralement Mn = gb (Mn−1) pour n entier strictement positif.

1. a. Montrer que pour |b| < 1, les coordonnées (x ; y) de Mn ont des limites finies, les calculer.

b. On suppose toujours |b| < 1. On désigne par A le point de coordonnées (

1

2 ; 1

2

)

, et on considère le point Pn de coordonnées (Xn ; Yn ) défini par

−−−→ APn =

−−−→ AM1 +

−−−→ AM2 +·· ·+

−−−→ AMn

Comment faut-il choisir le point M0 pour que Xn et Yn aient des limites finies ?

Quelles sont ces limites ?

À quel ensemble appartiennent, alors, les points M1, M1, · · · , Mn ?

2. Dans cette question on considère b = 3.

a. Déterminer, par une équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

la transformée

(C ′) du cercle (C ) de centre O et de rayon 1 par l’application g3.

b. Soit la courbe (E ) dont une équation par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→ )

est :

5x2+8xy +5y2−9= 0

On considère le repère (

O, −→ I ,

−→ J )

défini de la façon suivante :

Lille 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

r est une rotation vectorielle de P dont une détermination de l’angle est α (06α< 2π)

• −→ I = r

(

−→ ı )

et −→ J = r

(

−→ )

Déterminer α (06 α < π

2 ) pour que l’équation de (E ) dans le nouveau

repère soit de la forme :

AX 2+BY 2+C = 0

En déduire la nature de (E ) et en donner les éléments caractéristiques.

Lille 3 juin 1976

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