Math - travaux pratiques 10, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système d’équations, la fonction numérique, l'automorphisme.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nantes juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit A l’anneau Z/8Z.

1. Résoudre dans A× A le système d’équations :

{

6x+4y = 4 5x+ y = 4

2. Résoudre dans A l’équation :

x2+4x+3= 0.

EXERCICE 2

On rappelle que l’ensemble C des nombres complexes a une structure d’espace vec- toriel réel dont une base est B = (1, i). Soit p un complexe donné :

p = a+ ib (a etb sont réels).

On considère l’application f de C dans C qui, à tout complexe z, associe Z défini par :

Z = z+pz (E )

(z désigne le complexe conjugué de z).

1. Démontrer que f est une application linéaire de C dans C.

2. a. Trouver en fonction de a et b la matrice M de f par rapport à la base B = (1, i).

b. Démontrer que f est une bijection si, et seulement si, a2+b2 est différent de 1.

3. À partir de la relation (E ), trouver une relation entre z, Z et Z .

Retrouver ainsi le résultat de la question 2. b.

PROBLÈME

Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonormé R = (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Chaque point M du plan peut être repéré par ses coordonnées réelles (x ; y) ou par son affixe complexe z = x+ iy .

Partie A

Soit f la fonction numérique définie par :

f (x)= e−2x + x+1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans le repère R.

(On étudiera avec soin les branches infinies de (C ) : on pourra étudier le com-

portement de f (x)

x pour les valeurs de x negatives et de « grande » valeur ab-

solue.)

On indiquera les valeurs exactes des coordonnées du point correspondant au minimum de f .

Pour dessiner (C ), on utilisera l’approximation Log 2≈ 0,7).

2. Calculer l’aire A (m) de la surface plane finie limitée par la courbe (C ), l’axe (

O, −→

)

des ordonnées, l’asymptote oblique de (C ) et la droite d’équation x =

m,m étant un réel positif donné.

Étudier lim m→+∞

A (m).

Partie B

P étant le plan vectoriel associé au plan affine P, on considère l’endomorphisme ϕ de P (application linéaire de P dans P ) défini par sa matrice A dans la base (

−→ ı ;

−→

)

:

A =

(

−1 1 1 1

)

1. ϕ est-il un automorphisme ? Démontrer qu’il existe trois réels k, a, b avec

k > 0 et a2+b2 = 1

qui vérifient

A =

(

k 0 0 k

)

×

(

a b

b a

)

En déduire qu’il existe une homothétie vectorielle h et une symétrie vecto- rielle orthogonale s par rapport à une droite vectorielle (que l’on déterminera avec précision) qui vérifient :

ϕ= h s = s h.

2. Soit F celle des applications affines du plan P associée à l’endomorphisme ϕ qui transforme le point O en le point O′(−1 ; −1).

a. Le point M ayant pour coordonnées (x ; y), calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de son image M ′ par F .

Calculer l’affixe z ′ deM ′ en fonction de z (on rappelle que z désigne l’af- fixe deM et que z désigne le conjugué de z).

b. Déterminer les coordonnées du point Ω invariant par F .

Si H est l’homothétie de centre Ω, et de rapport k, déterminer la trans- formation S définie par :

F =H S = S H .

Quelle est la nature de F ?

Partie C

1. Démontrer que la courbe (

C ′ )

transformée de (C ) par F admet pour équation :

y = g (x) avec g (x)= x−Log x

(Log désigne la fonction logarithme népérien).

Nantes 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de la fonction g et construire la courbe (

C ′ )

.

3. n étant un entier naturel donné, déterminer les coordonnées du point d’inter- section de la courbe

(

C ′ )

et de la droite (∆n ) d’équation :

y = x+n.

4. Soit (Un) la suite numérique dont le terme général Un est égal à l’aire de la

surface plane finie limitée par la courbe (

C ′ )

, l’axe (

O, −→

)

des ordonnées et

les droites (∆n ) et (∆n+1).

a. CalculerUn et montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

b. Calculer la somme Sp des (p+1) premiers termes de cette suite, soit

Sp = n=p

n=0 Un

c. Étudier lim n→+∞

Sp .

Justifier le résultat obtenu en utilisant la limite de l’aire calculée en A 2. et l’application F définie dans B.

Nantes 3 juin 1976

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