Math - travaux pratiques 2, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Math - travaux pratiques 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, l’endomorphisme du plan vectoriel.
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1976 \

EXERCICE 1

On note 0, 1, 2, . . . , 11 les éléments de Z /12Z.

1. Déterminer dans Z /12Z les diviseurs de zéro.

2. Résoudre dans Z /12Z l’équation :

x Z /12Z, x2−4x+3= 0.

où 4, 3, 0 sont des éléments de Z/12Z.

(On pourra éventuellement essayer de mettre l’expression : x2 − 4x + 3 sous forme d’un produit de facteurs).

EXERCICE 2

1. Résoudre l’équation :

(1+ i)z2−2i(1+m)z+ (i−1) (

m2+1 )

= 0 (1)

z étant l’inconnue complexe etm un paramètre complexe.

2. Dans un plan affine euclidien E, rapporté à un repère orthonormé, on associe au point M de coordonnées (x ; y) le nombre complexe z = x + iy on dit que M est l’image de z, z l’affixe du point M .

Soit M1 et M2 les images de z1 et z2 solutions de l’équation (1), montrer que M2 est l’image deM1 dans une rotation (indépendante du paramètrem) dont on précisera le centre et l’angle.

PROBLÈME

On considère, dans ce problème, – un plan vectoriel euclidien P muni d’une base orthonormée directe B =

(

−→

ı , −→

)

.

– un plan affine euclidien P portant le repère R = (

O, −→

ı , −→

)

associé au plan

vectoriel P .

Partie A

Soit ϕ l’endomorphisme du plan vectoriel dont la matrice dans la base B est :

φ=

(

cos2θ sinθcosθ sinθcosθ sin2θ

)

θ est un réel donné.

1. Montrer que l’ensemble des vecteur invariants parϕ est une droite vectorielle

D dont une base est le vecteur unitaire −→

u tel que θ soit une mesure de l’angle (

−→

ı , −→

u )

.

2. Montrer que D est la seule droite vectorielle invariante de P par ϕ.

3. Démontrer que le noyau de ϕ est la droite vectorielle D′ orthogonale à D.

4. Déterminer l’ensemble des vecteurs −→

v ′ , images des différents vecteurs −→

v du plan vectoriel P par ϕ.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Partie B

On se donne, dans le plan affine P, le point A, de coordonnées α et β, dans le repère R, ainsi que la droiteD, passant par A et de direction la droite vectorielle D.

1. Montrer que les coordonnées x′ et y ′ du pointM ′ , projection orthogonale, sur la droiteD, du point M de coordonnées x et y sont données par :

{

x′ = x cos2θ+ y sinθcosθ+αsin2θβsinθcosθ y ′ = x sinθcosθ+ y sin2θαsinθcosθ+βcos2θ

2. Montrer que l’application f qui associe ainsi, à tout point M de P, sa projec- tion orthogonale, M ′, sur D est une application affine dont l’endomorphisme associé est ϕ, l’endomorphisme étudié plus haut.

Partie C

On considère l’ensemble des droites () du plan P d’équation :

x sin2θysinθcosθ+cos2θ = 0; θ ∈]0 ; π[.

1. Montrer que toute droite () est tangente à la parabole (C ) d’équation y 2 −

4x = 0 en un point M .

Préciser, en fonction de θ, les coordonnées du point M .

2. On projette, orthogonalement en F′, le foyer F de (C ), sur chacune des droites ().

Quel est l’ensemble des points F′ ?

3. Toute tangente à la courbe (C ) est-elle une droite () ? En déduire une pror- piété de (C ).

4. On projette orthogonalement l’origine O du repère (R) en O′ sur la tangente en M à (C ). Montrer que l’ensemble (Γ) des points O′ quand M décrit la pa- rabole, comprend la courbe (Γ1) représentative de la fonction g de R dans R telle que :

x 7−→ g (x)=

x3

x+1

Étudier les variations de g et tracer (Γ1) puis (Γ).

Lille 2 septembre 1976

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