Math - travaux pratiques 3, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi de probabilité de X, l’espérance mathématique , l’écart-type de la variable aléatoire X.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Limoges juin 1976 \

EXERCICE 1

Une urne contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 3, 4. On tire deux boules simultanément et on fait la somme X des nombres inscrits sur les boules tirées.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

2. Représenter graphiquement la fonction de répartition de la variable aléatoire X .

3. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire X ?

EXERCICE 2

1. Montrer que tout réel x différent de (−1) vérifie l’égalité :

1− x+ x2− x3+·· ·+ (−1)n−1xn−1 = 1

1+ x − (−x)n

1+ x

En déduire l’égalité :

∫1

0

(−x)n

1+ x dx = Log2−

[

1− 1

2 + 1

3 · · ·+

(−1)n−1

n

]

(Log signifiant logarithme népérien).

2. Montrer que pour tout entier natureln différent de zéro et pour tout x élément de [0 ; 1] on a la double inégalité :

xn 6 (−x)n

1+ x 6 xn .

En déduire les inégalités :

− 1

n+1 6

∫1

0

(−x)n

1+ x dx6

1

n+1

et la limite, quand n tend vers +∞ de la suite

un = 1− 1

2 + 1

3 · · ·+

(−1)n−1

n .

PROBLÈME

Partie A

Onconsidère dans le plan affine euclidienπ rapporté à un repère orthonormé (

ω, −→ u ,

−→ v

)

l’application affine g qui, à tout point H de coordonnées (p ; q) associe le point H

de coordonnées (

p ′ ; q ′ )

vérifiant :

{

p ′ = pLog xqLog y q ′ = pLog y +qLog x

x et y étant des paramètres réels strictement positifs, le symbole Log désignant le logarithme népérien.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Pour quelle valeur du couple (x ; y), l’application g n’est-elle pas bijective sur π ?

2. Dans cette question, on considère les couples (x ; y) comme les coordonnées d’un point M d’un plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Déterminer l’ensemble des points M tels que g soit une homothétie.

b. Déterminer l’ensemble des points M tels que g soit involutive.

On trouvera deux points et on précisera, pour chacun, la nature de g .

c. Déterminer l’ensemble (K ) des points M tels que g soit une isométrie affine. On se bornera à donner l’équation de (K ).

Partie B

On appelle P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

et

P+ l’ensemble des points de P dont les coordonnées sont strictement positives. On considère l’application ϕ : P → P+ telle que l’image par ϕ d’un point M de coor- données (x ; y) soit le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

vérifiant :

{

x′ = ex

y ′ = ey

(e étant la base des logarithmes népériens).

1. Montrer que ϕ est une bijection de P sur P+. Existe-t-i ! des points de P inva- riants par ϕ ?

2. Donner l’équation de ϕ(D), image par ϕ de la droite (D) d’équation :

ax+by +c = 0.

On précisera la nature et la position deϕ(D) dans les cas particuliers suivants :

a. a (ou b) est nul.

b. a = b.

Partie C

1. Montrer que l’image par ϕ du cercle de centre O et de rayon 1 est l’ensemble (K ) défini au A 2. c).

2. Étudier les fonctions numériques :

y1 = e p

1−Log 2x , y2 = e − p

1−Log 2x .

Déduire de leurs représentations graphiques le tracé de (K ).

Montrer que (K ) admet la première bissectrice comme axe de symétrie. Cal- culer les coordonnées des intersections A et B de cette bissectrice et de (K ).

Déterminer les points de contact A′ et B′ de (K ) avec les tangentes à (K ) issues de O.

Nature du quadrilatère AA′BB′.

Note : Les parties A et B - sont entièrement indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque. La partie C dépend partiellement de A et de B .

Limoges 2 juin 1976

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