Math - travaux pratiques 5, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan affine euclidien, la symétrie orthogonale, le logarithme népérien.
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[ Baccalauréat C Lyon septembre 1976 \

EXERCICE 1

Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On appelle

affixe du point M le couple de coordonnées (x ; y) le nombre complexe z égal à x+ iy . T désigne l’application du plan dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point T (M) d’affixe z3 .

1. Calculer les coordonnées de T (M) en fonction de x et de y .

2. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que M et T (M)

aient même abscisse est que M appartienne à (

O, −→ v

)

ou à une hyperbole (H)

d’axe transverse (

O, −→ u

)

. Préciser les sommets et les asymptotes de cette co-

nique et la représenter dans le plan.

Démontrer que tout point M appartenant à l’une des asymptotes de H est tel

que T (M) appartient à (

O, −→ v

)

.

EXERCICE 2

Dans le plan affine euclidienorienté P rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

on considère : – la rotationR1 de centre A1(0 ; 2) et dont l’angle a pourmesure+

π

2 en radians.

– la rotation R2 de centre A2(−2 ; 0) et dont l’angle a pour mesure − π

2 en ra-

dians. – la symétrie orthogonale S par rapport à la droite A1A1.

1. Déterminer, sans calcul, en utilisant le groupe des isométries de P la nature et les éléments caractéristiques des applications

f1 =R1 ◦S et f2 =R1 ◦R2

2. Confirmer ces résultats à l’aide des expressions analytiques de f1 et de f2 ?

PROBLÈME

Partie A

On se propose de déterminer l’ensemble F des fonctions f numériques d’une va- riable réelle définies sur ]−1 ; +∞[, dérivables sur cet intervalle vérifiant :

x ∈]−1 ; +∞[, (1+ x) f ′(x)+ f (x)= 1+Log (1+ x)

(Log (1+ x) est le logarithme népérien de (1+ x)).

1. Soit f F et soit g définie par :

x ∈]−1 ; +∞[, g (x)= (1+ x) f (x).

Démontrer que g est dérivable sur ]−1 ; +∞[ et que g est une primitive de la fonction h définie par :

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

x ∈]−1 ; +∞[, h(x)= 1+Log (1+ x)

Réciproquement, soit g1 une primitive de la fonction h. Démontrer que la fonction f1 définie par :

x ∈]−1 ; +∞[, f1(x)= g1(x)

1+ x

est un élément de F .

2. a. Déterminer les réels A et B tels que

x ∈]−1 ; +∞[, x

1+ x = A+

B

1+ x

b. À l’aide d’une intégration par parties déterminer l’ensemble des primi- tives de la fonction h.

c. En déduire l’ensemble F .

Partie B

On considère l’ensemble des fonctions fk de ]−1 ; +∞[ vers R définies par :

x ∈]−1 ; +∞[, fk (x)= Log (1+ x)+ k

1+ x , k ∈R

1. Discuter suivant les valeurs de k, le sens de variation des fonctions fk .

2. Tracer, avec soin, dans un même repère (

O, −→ ı ,

−→

)

les représentations gra-

phiques des fonctions f1, f0, f−1.

3. Soient M1(t), M2(t), M3(t) les points d’abscisse t sur les représentations gra- phiques respectives des fonctions fk1 , fk2 , fk3 . Démontrer que le rapport :

M1(t)M2(t)

M1(t)M3(t) est indépendant de t .

Partie C

1. Soit Pn (x)= k=2n−1

k=0 (−1)kxk = 1− x+ x2− x3+ . . .− x2n−1.

Démontrer par récurrence que pour tout entier n et pour tout réel x ∈]− 1 ; +∞[

f ′0(x)=Pn(x)+ x2n

1+ x

2. Démontrer que ∀n ∈N, ∀x ∈]0 ; 1[, x2n

1+ x 6 x2n .

En déduire pour tout entier n> 1 la double inégalité

06 ∫1

0

x2n

1+ x dx6

1

2n+1 .

3. On considère la suite (wn) définie par :

n ∈N⋆, wn = k=2n

k=1

(−1)k+1

k = 1−

1

2 + 1

3 − 1

4 + . . .−

1

2n .

Démontrer que : ∀n ∈N⋆, f0(1)=w0+ ∫1

0

x2n

1+ x dx.

En déduire que la suite (wn) admet, lorsque n tend vers +∞, une limite que l’on précisera. Trouver un entier n0 tel que Log2−wn0 < 0,1.

Lyon 2 septembre 1976

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