Math - travaux pratiques 6, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux constantes réelles, les nombres réels strictement positifs donnés.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Maroc juin 1976 \

EXERCICE 1 points

1. Vérifier que le couple (2 ; 3) est solution de :

41x−27y = 1 (x, y) ∈N2

2. En déduire une solution particulière de :

41x−27y = 5 (x, y) ∈N2

3. Donner toutes les solutions de :

41x−27y = 5 (x, y) ∈N2

EXERCICE 2 points

1. Déterminer deux constantes réelles A et B telles que :

1

t(1+ t) =

A

t +

B

1+ t

Calculer alors :

J =

∫2

1

1

t(1+ t) dt

2. Calculer l’intégrale :

I =

∫2

1

ln(1+ t)

t2 dt

PROBLÈME points

Les parties A et B peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

Partie A

1. a. Soit E un espace vectoriel et soit ϕ une application linéaire de E dans E telle que ϕ ϕ = Id. (Id désignant l’application identique de E dans E ).

Montrer que ϕ est bijective. Soit :

E+ = {V E ϕ(V )=+V } E− = {V E ϕ(V )=−V }

Montrer que E+ et E− sont deux sous-espaces vectoriels de E , et que E+∩

E− = {0}.

Pour chaque V E , on pose :

V + = 1

2

(

V +ϕ(V ) )

V − = 1

2

(

V ϕ(V ) )

Montrer que V + ∈ E+ et que V − ∈ E−, et que V = V + +V −. En déduire

que E est somme directe des deux sous-espaces vectoriels E+ et E−.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. A chaque triplet (α, β, γ) de nombres réels, on associe l’application f de RdansR définie par f (x)=αx+βex+γe−x . On désigne par Fc l’ensemble

de toutes les applications f obtenues quand α,β,γ parcourent R. Mon-

trer que Fc est un espace vectoriel surR. Prouver que l’ensemble des trois

applications :

x 7→ x x 7→ ex x 7→ e−x

constitue une base de Fc .

c. Soit A l’application de Fc dans Fc qui à tout f Fc associe g = A( f ) défi- nie par g (x)= f (−x). Montrer que A A = Id. (Id désignant l’application

identique de Fc dans Fc ). On considère l’application f0 de Fc définie par :

f0(x)= e x

f +0 et f

0 sont définies comme dans I - 1. (E remplacé par Fc , et ϕ rem-

placé par A). Déterminer f +0 et f

0 . Montrer que pour tout réel x, on a :

(

f +0 (x) )2 −

(

f −0 (x) )2

= 1

d. Soit t ∈ R et soit z(t) ∈ C le nombre complexe sont les parties réelle et imaginaire sont respectivement a f +0 (t) et b f

0 (t), où a et b sont deux

réels strictement positifs. Trouver une relation indépendante de t entre

ℜ(z(t)), la partie réelle de z(t) et ℑ(z(t)), la partie imaginaire de z(t).

Soit Mt le point d’affixe z(t). Démontrer que Mt appartient à une co-

nique, indépendante de t , dont on donnera une équation.

Partie B

Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit H l’hyperbole admettant comme équation dans ce repère :

x2

a2 −

y2

b2 = 1

a et b désignent des nombres réels strictement positifs donnés.

On désigne par S le groupe des similitudes du plan Pc . On chercher dans cette

partie à caractériser la partie Ec de S formée des similitudes s qui laissent H

invariante (c’est à dire telles que s(H)=H).

On rappelle qu’une similitude est une bijection de P sur lui-même, qu’elle

transforme une droite en une droite, et qu’elle multiplie les longueurs par une

constante positive (rapport de similitude).

a. Faire une représentation graphique de H en plaçant ses asymptotes.

b. Soit s S.Montrer queOest point double pour s (c’est à dire que s(O)=O).

On pourra pour cela se servir de la caractérisation suivante du centre

d’une hyperbole :

– Toute droite passant par le centre rencontre l’hyperbole en zéro ou

deux points.

– Par tout point autre que le centre, il passe aumoins une droite rencon-

trant l’hyperbole en un seul point.

c. Soit A et A′ les sommets deH (c’est à dire les deux points deH situés sur la droite Ox). On pose B = s(A). Montrer que la distance des deux points

O et B (notée ∥

−−→ OB

∥ ) est au moins égale à celle de O et A (notée ∥

−−→ OA

∥).

En déduire que k, le rapport de similitude de s, est au moins égal à 1.

d. Montrer que k = 1, et montrer que s(A) est soit A, soit A′.

Maroc 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

e. Endéduire que l’ensembleEc est constitué par quatre éléments, qui sont : – Id , l’application identique

SO, la symétrie par rapport à l’origine

S1, la symétrie orthogonale par rapport à Ox

S2 la symétrie orthogonale par rapport à Oy .

Vérifier que Ec est un sous-groupe de S.

Maroc 3 juin 1976

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