Math - travaux pratiques 7, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux entiers naturels non nuls, Représentation graphique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier juin 1976 \

EXERCICE 1

a et b sont deux entiers naturels non nuls. On note M leur plus petit commun mul-

tiple et ∆ leur plus grand commun diviseur.

Déterminer a et b pour qu’ils vérifient les trois conditions suivantes :

a 6 b

a +b = 105

M = 12∆

(On pourra utiliser les entiers a′ et b′ tels que a =∆a′ et b =∆b′).

EXERCICE 2

Jean possède, dans le tiroir de son armoire, 5 paires de chaussettes noires, 3 paires

de chaussettes vertes et 2 paires de chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont

mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher.

Lorsque Jean est en train de s’habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est

pressé et qui n’a pas de lampe de poche, prend au hasard deux chaussettes dans le

tiroir.

1. Calculer, à 0,01près par défaut, la probabilité pour que Jean ait tiré deux chaus- settes noires.

2. Calculer, à 0,01près par défaut, la probabilité pour que Jean ait tiré deux chaus- settes de même couleur.

3. En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaus- settes rouges restent inchangés, calculer quel devrait être le nombren de chaus-

settes noires (

n ∈N ⋆ )

contenues dans le tiroir pour que la probabilité d’avoir

deux chaussettes noires soit égale à 2

7 .

PROBLÈME

Partie A

1. Etudier l’application de R dans R définie par :

x 7−→ 1

1+ x2

Variation, Représentation graphique.

2. a. Montrer, sans chercher à calculer l’intégrale, que :

x 7−→

x

0

1

1+ t2 dt

détermine une application u de [0 ; +∞[ dans [0 ; +∞[. Quel est le sens

de variations de u ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout réel t de l’intervalle [1 ; +∞[

1

1+ t2 6

1

t2

En déduire que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[

x

1

1

1+ t2 dt 6 1−

1

x

c. Montrer que, pour tout réel t de l’intervalle R, 1

1+ t2 6 1.

En déduire :

∫1

0

1

1+ t2 dt 6 1 et u(x)6 x

d. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, u(x)6 2.

e. Montrer que l’ensembleu ([0 ; +∞[) possèdeuneborne supérieuretelle que 06 6 2, et que u tend vers lorsque x tend vers +∞.

Partie B

1. a. Montrer que x 7−→ tg x détermine une bijection v de [

0 ; π2 [

sur [0 ; +∞[.

On note v−1 la bijection réciproque de v .

b. On dispose ainsi d’une application w = u v de [

0 ; π 2

[

dans [0 ; +∞[.

Montrer que w est dérivable en tout point x de l’intervalle [

0 ; π 2

[

et cal-

culer w ′(x).

En déduire qu’il existe k ∈R tel que :

pour tout réel x de l’intervalle [

0 ; π

2

[

, w(x)= x +k

c. Calculer w(0).

Montrer que w tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs positives. On

pourra commencer par montrer que :

pour tout réel x de l’intervalle [

0 ; π

2

[

, 06 w(x)6 tg x.

d. Déduire de cette étude :

pour tout réel x de l’intervalle [

0 ; π

2

[

, (u v)(x)= x.

En résulte-t-il que les applications u et v−1 sont égales ?

Quelle est la valeur du réel introduit en A 2. e. ?

2. Tracer les représentations graphiques des applications u et v dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.

Montpellier 2 juin 1976

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