Math - travaux pratiques 8, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les images, le vecteur vitesse.
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[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1976 \

EXERCICE 1

Résoudre successivement dans l’ensemble Z/7Z les équations :

2̇x = 1̇

x2+ 4̇x+ 3̇= 0̇

x4+ 4̇x2+ 3̇= 0̇

EXERCICE 2

On considère, dans le plan complexe, un point M , d’affixe u et les points M ′ et M ′′

qui ont respectivement pour affixes les racines Z ′ et Z ′′ de l’équation :

Z 2−2(u+1)Z +2u2+2u+1= 0 où Z est l’inconnue.

1. Résoudre cette équation dans l’ensemble C des nombres complexes.

2. Trouver l’ensemble des points M tels que la distance de M ′ à M ′′ soit égale à 2. Quel est alors l’ensemble des points M ′ etM ′′ ?

PROBLÈME

Les parties A et B sont indépendantes.

1. Soit E un espace vectoriel de base (

−→

ı , −→

, −→

k )

.

On considère l’application linéaire ϕ de E dans E , définie par :

ϕ

(

−→

ı )

=

−→

ı

ϕ

(

−→

)

= −

−→

ı +2 −→

k

ϕ

(

−→

k )

=

−→

k

a. Déterminer le noyau de ϕ, son image et l’ensemble des vecteurs inva- riants.

b. Préciser la nature de ϕ.

2. Soit E un espace affine associé à E , de repère cartésien (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

. On ap-

pelle f l’application affine de E dans E , associée à l’application linéaire ϕ et

telle que f (O) = O.

a. Montrer que tout point M de E de coordonnées (x ; y ; z) a pour image par f le point M ′ de coordonnées :

x′ = xy

y ′ = 0

z ′ = 2y + z

Définir géométriquement f .

b. Soit P le plan de repère cartésien (

O, −→

ı , −→

)

. On considère la droite (D)

d’équations : x = 2 et z = 0 et la droite (∆) d’équations : x−2y −2 = 0 et

z = 0. (Ces droites sont donc contenues dans P).

Déterminer les images de (D) et (∆) par l’application f .

Partie B

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. On suppose maintenant E euclidien et le repère (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

orthonormé.

Construire, par rapport au repère (

O, −→

ı , −→

)

du plan P, la courbe H d’équa-

tion :

y = x2−4x+5

2x−4 .

2. Déterminer la courbeH ′ image deH par l’application f étudiée dans la partie A - 2.

Préciser sa nature et ses éléments remarquables.

3. Onconsidère unpointmobileM dont les coordonnées dans le repère (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

sont définies, à l’instant t , par les relations :

x = 2+ 1+ sin t

cos t

y = 1

cos t z = 0

avec t ∈ ]

π

2 ; π

2

[

a. Montrer que la trajectoire deM est une partie de H .

b. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse deM à l’instant t .

c. Le point M ′, image deM par f , est aussi un point mobile.

Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de M ′ à l’instant t . La

vitesse deM ′ peut-elle être, à un instant t , double de celle deM ?

Montrer que le vecteur vitesse de M ′ est le transformé par ϕ du vecteur

vitesse deM .

Montpellier 2 septembre 1976

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