Math - travaux pratiques 9, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite de terme général, le polynôme, la mesure des angles.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nancy juin 1976 \

EXERCICE 1

On définit la suite de terme général un par

{ u0 ∈N, u0 > 4 ∀n ∈N, un+1 = 2un −3

1. On pose vn =un −3. Montrer que la suite (vn) ainsi définie est une suite géométrique. En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de u0 et de n.

2. Quels sont les nombres entiers u0 (u0 > 4) tels que, pour tout n, 3un soit le cube d’un entier naturel ?

3. On suppose u0 = 4 ; déterminer toutes les valeurs de n telles que 3un −1 soit un multiple de 11.

EXERCICE 2

On considère le polynôme :

P (z)= z3−4iz2− (7+2i)z−6+12i.

1. Trouver une racine réelle α de l’équation P (z)= 0. 2. Calculer les nombres complexes a et b, tels que

z ∈C, P (z)= (zα) ( z2+az+b

) .

3. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

PROBLÈME

On désigne par E un espace affine euclidien de dimension 2, rapporté au repère

orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) .

Partie A

Soit (H) la courbe représentative dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) de la fonction f définie

sur R⋆ par

f (x)= 1 p 3 x+

p 3

2x .

1. Étudier la fonction f et tracer (H).

2. On appelle (D) celle des asymptotes de (H) qui n’est parallèle à aucun des

axes, et (∆) celle des bissectrices des droites (D) et ( O,

−→

) qui rencontre (H).

Déterminer une mesure des angles á((

O, −→ ı

) , (D)

) et

á(( O,

−→ ı

) , (∆)

) .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit a un nombre réel supérieur ou égal à

p 3

2 ; on désigne par (Da) la droite

d’équation x = a. Calculer l’aire de la partie du plan, située dans le demi-plan x > 0, limitée par les droites (D), (∆), la courbe (H) et la droite (Da ). Trouver a tel que cette aire soit égale à

p 3.

Partie B

Soit −→ I un vecteur unitaire de (∆).

1. Déterminer un vecteur −→ J , tel que

( O,

−→ I ,

−→ J

) soit un repère orthonormé.

2. Donner l’équation de (H) dans le repère ( O,

−→ I ,

−→ J

) .

3. Quelle est la nature de la conique (H) ? On précisera ses éléments dans le re-

père ( O,

−→ I ,

−→ J

) : sommets, foyers, directrices, excentricité.

Partie C

On considère l’ensembleG des isométries du plan euclidien E laissant la courbe (H) globalement invariante.

1. Montrer que la loi de composition des applications est une loi interne sur G, et queG muni de cette loi a une structure de groupe.

2. Montrer qu’une isométrie g est élément de G si et seulement si g conserve l’ensemble des foyers de (H).

3. En déduire tous les éléments deG.

4. Donner la table de composition du groupeG ; ce groupe est-il commutatif ?

Partie D

Soit M un point de E de coordonnées (x ; y) dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) , animé d’un

mouvement déterminé par

{ x(t) =

p 3et

y(t) = et + 1

2 e−t

1. Déterminer la trajectoire du point M et le sens de parcours.

2. Calculer les vecteurs vitesse et accélération du point M .

Préciser à quels instants et sur quelles parties de la trajectoire le mouvement est accéléré ou retardé.

Nancy 2 juin 1976

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