Mathématique et technique - exercices d'algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices d'algèbre sur les transformations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, les nombres réels, l’équation.
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1966 \ Mathématiques et Mathématiques-Technique

Le candidat doit traiter l’exercice et le problème.

EXERCICE 1 6 POINTS

On donne dans un plan un vecteur fixe −→ V non nul et un point fixe O.

1. M étant un point quelconque du plan, M ′ le transformé de M par la transla-

tion (T ) de vecteur directeur −→ V , et M ′′ le transformé de M par la symétrie (S)

de centre O, quel est l’ensemble des points M tels que ∣∣∣ −−−−−→ M M ′′

∣∣∣= ∣∣∣−→V

∣∣∣ ? 2. Quels sont les points doubles respectifs des deux transformations (S T ) et

(T S) produits de la translation et de la symétrie précédente ?

3. Montrer que chacune des deux transformations (ST ) et (T S) est involutive.

PROBLÈME 14 POINTS

z = x + iy et Z = X + iY sont deux nombres complexes liés par la relation :

(1) Z = az +b

cz +d

a,b,c,d sont des nombres réels tels que ad bc 6= 0.

1. La relation (1) définit une transformationponctuelle du planorthonorméOx y , faisant correspondre au point m d’affixe z (c’est-à-dire dont les coordonnées cartésiennes dans le plan Ox y sont les nombres réels x et y), le point M d’af- fixe Z .

a. Cette transformation conserve l’axe xx (c’est-à-dire transforme tout point de xx en un point de xx) ; dire pourquoi.

b. On considère sur l’axe y y un point quelconque m d’affixe z = iy ; calcu- ler l’affixe Z = X + iY du point M correspondant ; comment faut-il choi- sir les nombres réels a,b,c,d pour que (1) conserve non seulement l’axe xx mais aussi l’axe y y ? On trouvera qu’il existe deux transformations

répondant à la question

( Z = kz et Z =

k

z , k réel

) .

2. Onconsidère celle (T ) des deux transformations précédentes (autre que l’iden- tité) admettant le point A(+ 1 ; 0) pour point double.

a. Montrer qu’elle est involutive et qu’elle admet le deuxième point double B(−1 ; 0).

b. Montrer quedeuxpoints correspondants quelconquesm et M et les points A et B sont situés sur un même cercle (C), que l’axe xx bissecte l’angle àmOM , et que le point où la droite mM coupe y y est le pôle de xx par rapport à (C).

3. À tout point m du plan autre que A ou B, (T ) attache la droite D joignant m à son transformé M .

a. Réciproquement, toute droiteD duplan provient-elle d’un pointm ; pré- ciser l’ensemble des droites D pour lesquelles il en est ainsi.

b. Indiquer une construction géométriquedu couple depoints transformés (m, M) situés sur une droite D donnée.

c. Lieu géométrique du point M lorsque m décrit une droite ∆ passant par O ; lieu dumilieu du segment mM dans la même hypothèse.

Le baccalauréat de 1966 A. P. M. E. P.

4. On suppose que m décrit un cercle C de centre O et de rayon donné r , et l’on

pose á(−−→ Ox ,

−−→ Om

) =ϕ.

a. Former, relativement aux axes Ox, Oy , l’équation de la droite D attachée à m, et celle du lieu géométrique du point P se projetant orthogonale- ment sur les axes aux points où ils sont coupés par D.

b. Γ étant l’enveloppe de D, et sans chercher à déterminer r , trouver le nombremaximumde tangentes qu’onpeut luimener par unpoint donné

p ( x0 ; y0

) du plan (on pourra former l’équation donnant tg

ϕ

2

) .

Nota. - Les candidats qui seraient arrêtés par le résultat demandé à la fin du no 2 peuvent l’admettre, et traiter les questions 3 et 4 rendues ainsi indépendantes des deux précédentes.

Aix–Marseille Mathématiques et Mathématiques-Technique2 juin 1966

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