Mathématique et technique - exercices d'algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 2 sur l’espace. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la constante réelle donnée, les graphiques.
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[ Baccalauréat C Antilles–Guyane septembre 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Trois points, A, B et C, étant donnés dans l’espace, construire le point G tel que

−−→ GA −

−−→ GB +

−−→ GC =

−→ 0 .

On distinguera le cas où A, B, C sont alignés et celui où ils ne sont pas alignés.

2. En utilisant le point G précédent, rechercher l’ensemble des points M de l’es-

pace tels que

MA2−MB2+MC2 = k.

(k : constante réelle donnée).

EXERCICE 1

1. Dans le repère Ox, Oy orthonormé, on envisage les graphiques (C ) et (C ′), des

fonctions

x 7−→ 2 p

x +1. et x 7−→−2 p

x +1

Montrer que (C )∪ (C ′) est une parabole, (P ), dont on précisera le foyer, la di- rectrice, le paramètre et l’axe de symétrie.

2. M est un point de (P), d’abscisse m. Soit (D1) et (D2) les droites d’équations

respectives y = x +2 et x = −1 ; soit M1 et M2 les intersections de la tangente en M à (P) avec (D1) et (D2)·

On introduit les points A1(−1 ; +1) et A2(−1 ; 0).

Calculer, en fonction de m, les composantes, sur les axes, des vecteurs −−−−→ A1M1

et −−−−→ A2M2 .

On considérera successivement le cas où M est sur (C ) et le cas où M est sur

(C ′).

3. Montrer qu’on passe de −−−−→ A1M1 à

−−−−→ A2M2 par une similitude, dont on précisera

le centre, l’angle et le rapport.

4. Vérifier que la médiatrice de OM1 coïncide avec la médiane, issue de M2 du

triangle OM1M2. En déduire l’enveloppe de cette médiane, quand m varie.

On distinguera les cas suivants : M sur (C ) et M sur (C ′).

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